數學中的特殊化方法

特殊化，是認識數學世界的重要思想方法。人們認識事物的過程，往往總是從事物的個別現象開始的。因為，從問題的特殊情況出發去觀察、分析問題，往往能受到啟示。當問題不強調一般性，而具有任意性的時候，我們往往可以用特殊(個別)來代替一般，從而使問題得以簡化。

一、特殊化方法的基本含義

1．基本含義。特殊化方法就是考慮問題在某一特殊條件的狀態，通過對這種特殊狀態的研究，求得問題的解決，或為問題的最終解決提供關鍵信息的方法。

波利亞指出：“特殊化是從對象的一個給定集合，轉而考慮那包含在這個集合內的較小的集合，例如我們從多邊形轉而特別考慮正多邊形，我們從正多邊形轉而特別考慮等邊三角形……。”

特殊化是以研究對象的一般性為基礎，從而肯定個別對象具有個別屬性，實際上特殊化是在給定集合中討論它的子集的過程。由于事物的共性存在于個性之中，因此，對個別特殊情況的討論，由于矛盾的集中，往往可以突出問題的關鍵，揭示問題的本質，從而對一般問題的解決有所突破，特殊化方法就是研究個性中的共性。

2．特殊化方法的重要意義。特殊化方法是認識數學世界的重要思想方法。在解決問題的過程中，從問題的特殊情況出發去考察、分析問題，往往能揭示問題的本來面目，看清問題的本質，給問題解決帶來意想不到的收獲。

特殊化方法總是根據問題所具有的一般性特點，從該問題最為特殊的位置或可以取到的最特殊的值出發對問題進行探討，從而得到問題的一般性結論或獲取解決問題的途徑。事實說明不論是在科學研究，還是在數學教學中，特殊化方法都具有十分重要的作用。

二、特殊化方法與數學教學

例1水結成冰體積增加了 ，那么，冰化成水后，體積減少了幾分之幾?

【思考】設水的體積為1，則水結成冰后，冰的體積是水的：1+ = ，反過來，水的體積就是冰的體積的：1÷ = 。

所以冰化成水后，體積減少了：1- = 。

在解答應用題時，常常用單位“l”來表示未知的總量，從而幫助找到解題的途徑。其實，很多問題，根據題目的特點，巧妙地用其它整數“幾”來表示未知的總量，不僅會使問題更加簡明，而且更富于挑戰性和創造性。

設水的體積為10，則水結成冰后，冰的體積為11；冰化成水后，體積顯然還是減少1，但這個1已變成是11中的一份，所以，冰化成水后，冰的體積減少了(冰的) 。

“1”是特殊值，“10”也是特殊值，根據問題的特點，用“10”來表示整體，體現了不拘一格，敢于創新的思維風格。同時，10的設置，能更清楚地揭示分數的意義。

例2已知甲校學生數是乙校學生數的百分之四十，甲校女生數是甲校學生數的百分之三十，乙校男生數是乙校學生數的百分之四十二，那么兩校女生總數占兩校學生總數的百分之幾?

【思考】仔細分析題意，不難發現，不論是已知條件還是所求問題都是用(或要求用)百分比表示，這說明，問題與具體數值的多少無關。在此情況下，我們就可以靈活地運用特殊值，使問題的求解變得簡單。

由“已知甲校學生數是乙校學生數的百分之四十”可知，設甲校學生為40人，則乙校學生為100人。

由“甲校女生數是甲校學生數的百分之三十”可得，甲校的女生人數：30％×40=12人。

由“乙校男生數是乙校學生數的百分之四十二”可知，乙校的女生人數：（1-42％)×100=58人，故兩校女生人數為：12+58=70人。

因為，兩校總人數為：40+100=140人，所以，兩校女生總數占兩校學生總數的：70÷140=50％。

這樣處理問題，不僅使問題的解決過程，簡明易懂，而且對百分數的意義的理解會更為深刻。

例3一張長方形紙片，把它的右上角往下折疊如甲圖，陰影部分占原紙片的 ：在把左下角往上折疊如乙圖，那么，乙圖中陰影部分占原紙片面積的。

【思考】根據題意，不妨設甲圖中正方形面積為25，則陰影部分面積為10，原圖面積為35。由此可知，正方形邊長為5，陰影乙圖部分(長方形)的長為5，寬為2。從而可知，乙圖中，小正方形面積為4，陰影部分面積為6。故，乙圖中陰影部分占原紙片面積的 。

看，這種解法是多么的簡單、美妙。這才是小學生所需要學習和掌握的解題方法。

例4正方形ABCD是一條環行公路。已知汽車在AB上的時速是90千米，在BC上的時速是120千米，在CD上的時速是60千米，在DA上的時速是80千米。從CD上一點P，同時反向各發出一輛汽車，它們將在AB的中點O相遇；如果從PC的中點M，同時反向各發出一輛汽車，它們將在AB上N點相遇，那么 的值是多少?

【思考】ABCD是正方形，四條邊都相等，所以，各段路程相等。由此，只要給出正方形的邊長，就能得出汽車在各邊上行駛需要的時間。

由【90，120，60，80】=720，不妨設AB=BC=CD=DA=720(千米)。

于是，汽車在AB、BC、CD、DA上分別各需行駛8、6、12、9分鐘。

由P到D到A所需要的時間是：(9+12+6)÷2=13.5(分鐘)。

由此可知，由P到D的時間是：13.5-9=4.5(分鐘)。

由P到D到A到N所需要的時間是：(4.5+9+8+6)÷2=13.75(分鐘)，所以，A到N所需時間是：13.75-4.5-9=0.25(分鐘)，B到N所需時間是：8-0.25=7.75(分鐘)，因此， = = 。

抓住正方形的特點，以及路程、速度、時間的關系，運用最小公倍數，設出如此巧妙的特殊值，使問題解決變得如此簡單，真是令人拍案叫絕。這樣的思維，這樣的設想，沒有創新精神是難以做到的。由此，不僅看到了巧設特殊值給解題帶來的便利和樂趣，同時，更體驗到了巧設的創新意識。

例5有兩包糖，每包糖內都有奶糖、水果糖和巧克力糖。

(1)第一包糖的粒數是第二包糖的粒數的三分之二；

(2)第一包糖中，奶糖占百分之二十五，第二包糖中水果糖占百分之五十；

(3)巧克力糖在第一包糖中所占百分比是在第二包糖中所占百分比的兩倍。

當兩包糖合在一起時，巧克力糖占百分之二十八，那么水果糖所占的百分比是多少?

【思考】這是一道比較復雜的問題，但是，此題有一個明顯的特點，即條件和問題均與具體數量無關。抓住分數(百分數)與比的關系，巧設特殊值是解決問題的關鍵。

根據題意，設第一包糖的粒數為20則第二包糖的粒數為30，第一包糖中有奶糖20×25％=5粒，第二包糖中有水果糖30×50％=15粒，兩包糖中共有巧克力糖(30+20)×28％=14粒。

根據“巧克力糖在第一包糖中所占百分比是在第二包糖中所占百分比的兩倍”，在第一包糖中加入其它糖(只要不是巧克力糖)20粒，則巧克力糖在兩包糖中所占的百分比相同。并且，當兩包糖合在一起時，巧克力糖所占的百分比也相同(就是它在每包糖中所占的百分比)。

由此可知，第一包糖中有巧克力糖：14÷(40+30)×40=8(粒)，從而得出，第一包糖中有水果糖7粒。

所以兩包糖合在一起時，水果糖所占百分比是(15+7)÷(20+30)=44%。

特殊值的設立，使我們擺脫了利用繁瑣的分數乘、除法意義解決問題的煩惱，使數量關系變得簡單、明確，既容易理解又容易掌握。特別是“在第一包糖中加入其它糖(只要不是巧克力糖)20粒”這種想法，是一種突破一般思維模式，大膽設想的創造性思維的體現。

特殊值方法，是特殊化方法在小學數學解題中的一種特殊應用。它是將可變對象換成固定對象，根據問題的特殊性，將問題放在極端特殊的觀察點上(或者說最簡單的情形下)，使問題的數量關系比較清楚或十分清楚地暴露出來，為問題解決提供途徑。

當一個問題比較難以解決的時候，我們可以考慮是否能把這個問題放到某一特殊的位置上，先從最特殊的情形進行分析，設法尋求一些啟示，從而找到解決問題的途徑。把問題的極端性質作為觀察、分析問題的出發點，是一件令人感到十分的爽的事情。其實，數學上的許多性質，往往都會通過一些數量達到某些特殊值時反映出來。這就可以使得我們可以以它們為重點考察對象，來尋求問題的突破口和答案。

特殊值法是小學生容易接受的方法，巧設特殊值不僅可以滲透特殊化這一重要的數學思想方法，而且，還可以培養學生不拘一格，突破常規，富有創造性的解決問題的能力。因此，在小學數學教學中，教師應適時滲透特殊化方法，但值得注意的是，它畢竟是用特殊代替了一般，在很多情況下是行不通的，這一點必須給予充分重視。

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