美式期權(quán)外匯的定價研究
2008-01-01 00:00:00黃文茜
現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè) 2008年1期
摘 要：外匯期權(quán)屬于期權(quán)家族中的一種，它與其他種類的期權(quán)有共同點，也有不同點，外匯期權(quán)涉及的是兩種貨幣，牽扯到兩種貨幣利率的問題。這里我們針對美式期權(quán)的定價做一探討：以一個USD Call/JPY Put美式外匯期權(quán)為例，說明如何利用二項式模型為美式外匯期權(quán)定價。
關(guān)鍵詞：外匯期權(quán)；期權(quán)定價；美式外匯期權(quán)定價
中圖分類號：F83文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1672-3198（2008）01-0082-01
美式外匯期權(quán)是指，期權(quán)的買方可以在成交日至期權(quán)到期日之間的任何時間要求賣方履約-按照預(yù)先確定的某個匯率即執(zhí)行價格(Exercise Price)用一定數(shù)量的貨幣購買(美式買權(quán)或美式看漲)或賣出(美式賣權(quán)或美式看跌)另一種貨幣。
美式外匯期權(quán)有提前履行的特點，所以對于其他各要素均相同的歐式外匯期權(quán)來說，美式 外匯期權(quán)的價值大于或等于歐式外匯期權(quán)的價值。因為履約時間的不確定性，美式外匯期權(quán)得不到解析定價公式，但我們可以用二項式期權(quán)定價原理為美式外匯期權(quán)定價。
這里我們以一個USD Call/JPY Put美式外匯期權(quán)為例，說明如何利用二項式模型為美式外匯期權(quán)定價。
假設(shè)目前日元對美元匯率是S=120，未來每一期匯率變動的可能是上漲為原來的u倍或下跌為原來的d倍(設(shè)u=l.02，d=0.98)，期權(quán)有效期為一個月，在期權(quán)有效期內(nèi)，日元的一個月定期年利率是rd=0.01%，美元的一個月定期年利率是rd=0.5%，設(shè)一個月期的USD Call/JPY Put美式期權(quán)(期權(quán)合約面值l美元)的協(xié)定匯率是120。
現(xiàn)在我們根據(jù)二項式定價模型計算該美式買權(quán)的初始價值:
(l)期權(quán)有效期分為兩期:t=0至t=1和t=l至t=2。首先計算美元在未來兩期的可能變動情況，見圖1所示:
(2)根據(jù)美元的可能變動情況與協(xié)定匯率計算該美元買權(quán)的執(zhí)行價值(執(zhí)行價值是結(jié)束美式期權(quán)的價格，執(zhí)行價值=max(S-X，O))，見圖2所示:
(3)根據(jù)第二步驟的執(zhí)行價值，計算該美元買權(quán)的合理價格(合理價格是活著的價格，即不被執(zhí)行的價格，等于下一期期望價格的貼現(xiàn)值)。其中所采用的上漲、下降的概率如下面的公式:
現(xiàn)證明如下:
首先利用期權(quán)和美元債券建立一個無風(fēng)險投資組合。假設(shè)某投資者期末持有一單位美元債券多頭和H個美元買權(quán)空頭，那么，以日元衡量的套期保值組合的期末價值Vt，其結(jié)果參見下表1:
期末一單位美元債券多頭的價值美元Callad期權(quán)空頭期末價值套期保值組合期末總價值Vt
為了使套期保值組合的期末總價值中性，則必須要求Vt不隨St變化而變化，即保持期權(quán)組合風(fēng)險中性，則必須要求
解方程即得:
其次，計算一下該投資者期初總支出Vo。期末一單位美元債券多頭貼現(xiàn)回期初，以美元計價的債券期初價格為1×e-rft，投資者當(dāng)時所支出日元則為1×e-rft×S;投資者期初同時賣出H個美元Call期權(quán)，每個Call期權(quán)價格為Co(以日元計價)，所收取的日元為H×Co，這樣就減少了期初的日元支出，則以日元衡量的套期保值組合期初總支出Vo為
再次，通過構(gòu)造無風(fēng)險投資組合，求出美元Call期權(quán)價值。顯然，只有當(dāng)以本幣衡量的套期保值組合的期末價值Vt與期初價值Vo之比等于日元資金市場上無風(fēng)險收益率時，這種組合就不存在超額無風(fēng)險利潤(若期末價值與期初價值之比不等于日元無風(fēng)險收益率，就會有獲取超額無風(fēng)險利潤的套利機(jī)會)，即：
最后解得
如果將圖1二項式分支過程理解為一個伯努利概率過程，那么這個p值可理解為期初即期匯率S上升到期末即期匯率us的概率;當(dāng)然從S下降到ds的概率為(1-P)。特別要指出的是，只有當(dāng)這個p值與u、d的關(guān)系滿足式(3-19)時，才有可能構(gòu)造無風(fēng)險投資組合，該組合既不存在匯率變動風(fēng)險，也不存在獲取超額無風(fēng)險利潤的套利機(jī)會;并且，當(dāng)式(3-19)滿足時，則在p、u和d三個變量中，一個變量可由另外兩個變量所確定。
在t=l時，當(dāng)美元上升至122.4時，該美元的合理價格2.3765，低于執(zhí)行價格2.4，故應(yīng)在此時提前執(zhí)行該美元買權(quán)較有利。
(4)t=0時，該美元買權(quán)合理價格的計算應(yīng)以在t=l的理性執(zhí)行策略為主:
在t=l時，該買權(quán)的可能合理(這里的可能合理是基于概率意義上的理性合理)價格為2.4(=Cu)與0(=Cd)，故在t=0時該美元買權(quán)的合理價格為:
到此，我們已經(jīng)推算出該美式美元買權(quán)的初始價格為C=1.176(日元)。
在外匯市場中應(yīng)用的期權(quán)定價模型一般分為歐式外匯期權(quán)定價和美式外匯期權(quán)定價。本文從二項式期權(quán)定價模型入手，結(jié)合了外匯期權(quán)自身的特點，在二項期權(quán)定價模型基礎(chǔ)上推導(dǎo)出了美式外匯期權(quán)的定價公式，并以USD Call/JPY Put美式外匯期權(quán)為例，說明了如何利用二項樹模型為美食外匯期權(quán)定價。
在美式外匯期權(quán)定價中，當(dāng)將有效期劃分的期數(shù)越多的時候，計算出的期權(quán)價格精確度會變得越高。以上所推演的美式外匯買權(quán)二項式定價模型同樣適用于美式賣權(quán)的定價，與計算美式買權(quán)唯一不同的是美式賣權(quán)的執(zhí)行價值應(yīng)為max(X-S，0)。
參考文獻(xiàn)
［1］姜禮尚.期權(quán)定價的數(shù)學(xué)模型和方法［M］.北京:高等教育出版社，2003.
［2］陳舜著.期權(quán)定價理論及其應(yīng)用［M］.北京:中國金融出版社，1998.
注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。
