排隊系統(tǒng)與存貯系統(tǒng)的綜合模型探討

摘 要：比較了存貯論和排隊論理論和現(xiàn)實中的相同之處，指出了他們相互依存的特點，從面提出了一個二者共同組成的存貯-排隊模型，并進行求解。

關(guān)鍵詞：優(yōu)化；排隊系統(tǒng)；存貯系統(tǒng)

中圖分類號：F27文獻標(biāo)識碼：A文章編號：1672-3198（2008）01-0096-02

1 引言

排隊論和存貯論是運籌學(xué)二個相對獨立的重要理論，是運籌學(xué)的二個重要組成部分。它們在理論上有很多相似的地方，在生產(chǎn)生活中往往是共同存在的。都應(yīng)用非常的廣泛。

在理論方面，排隊論和存貯論都是要達到成本最小或收益最大的目的，在基本理論和目的的前提下二者都分為許多的類型，排隊系統(tǒng)按輸入過程分為定長分布和隨機分布，存貯系統(tǒng)按需求可分為確定型存貯和隨機型存貯等。在理論的推導(dǎo)和證明中有很多相似的地方，都運用微分法或邊際分析方法求極值，并且都用到了大量的數(shù)學(xué)知識，如隨機變量和隨機過程的知識。二者還同樣需要求出系統(tǒng)最優(yōu)狀態(tài)下的參數(shù)，例如排隊系統(tǒng)中的最優(yōu)服務(wù)率，最優(yōu)服務(wù)臺個數(shù)，存貯系統(tǒng)中的存貯策略及其參數(shù)等。總而言之，排隊系統(tǒng)和存貯系統(tǒng)在理論上有很大的相似之處。在運籌學(xué)中把它們作為二個不同的理論來研究。

在現(xiàn)實應(yīng)用中，它們往往是同時存在的，存貯系統(tǒng)的需求往往就是一個排隊系統(tǒng)，比如銀行中，有資金的存貯同時又有大量客戶對資金的需求，生產(chǎn)過程中，有物品存貯和大量用戶對物品的需求。總之，有存貯系統(tǒng)就必然有排隊系統(tǒng)的存在。二者在理論上的相似性和在應(yīng)用中的共存性，使得把二者作為一個較大系統(tǒng)的子系統(tǒng)對其進行整體的研究、優(yōu)化，在理論和應(yīng)用中都具有很大的意義。

本文就庫存系統(tǒng)和排隊系統(tǒng)的相互影響入手，找出整個系統(tǒng)的最優(yōu)參數(shù)，包括存貯子系統(tǒng)的存貯策略、排隊子系統(tǒng)的最優(yōu)排隊空間、最優(yōu)服務(wù)率和最優(yōu)服務(wù)臺個數(shù)。

2 模型假設(shè)

系統(tǒng)模型如圖1所示：①存貯子系統(tǒng)根據(jù)存貯策略的需要進行存貨補充；②排隊子系統(tǒng)發(fā)出需求；③如果存貯子系統(tǒng)不缺貨則按需求提供貨物；④存貯子系統(tǒng)按照存貯策略進行存貨補充；⑤接受完服務(wù)的顧客攜帶所需貨物離開系統(tǒng)。

顧客以參數(shù)為λ的負指數(shù)分布到達系統(tǒng)，每當(dāng)系統(tǒng)中有顧客到達時，排隊系統(tǒng)發(fā)出需求，存貯子系統(tǒng)按需求提供貨物。假設(shè)每位顧客只需要一個單位的貨物。顧客到達時，如果加工車間空閑，顧客立即受到服務(wù)，否則顧客要排隊等待；如果沒有排隊空間，則顧客自行離去。系統(tǒng)可有多個服務(wù)臺，每個服務(wù)臺一次服務(wù)于一名顧客，服務(wù)時間是參數(shù)為μ的負指數(shù)分布，服務(wù)規(guī)則是按先到先服務(wù)的規(guī)則。如果顧客到達時存貯子系統(tǒng)缺貨，則顧客在排隊子系統(tǒng)內(nèi)等待。排隊子系統(tǒng)可以用一個M/M/s/k排隊系統(tǒng)來描述。

存貯系統(tǒng)的存貯策略為(s，S)存貯策略，即系統(tǒng)的最大存貯量為S，當(dāng)貨物存貯量為s時進行存貨補充，補充量為(S-s)。存貨補充所需時間服從參數(shù)為ε的負指數(shù)分布。每次存貨補充有進貨費用。

3 模型求解

3.1 存貯策略的確定

存貯系統(tǒng)采用(s，S)存貯策略，需要確定的是s和S。設(shè)單位成本為k，單位存貯費為C1，單位缺貨費為C2，每次定購費為C3，期初存貯為I，需求r為隨機變量，其概率分布由排隊子系統(tǒng)決定，密度函數(shù)為Φ(r)。因缺貨費用與時間相關(guān)，缺貨時間越長，缺貨費用越多，這里假設(shè)單位時間內(nèi)缺貨費用一定，在平均缺貨時間內(nèi)，單位缺貨費用為一定的。

3.2 最優(yōu)排隊空間的確定

排隊空間的大小是由排隊子系統(tǒng)中平均排隊的顧客數(shù)確定的，過大會造成空間的浪費，過小會造成顧客的不必要的流失。排隊空間的大小包括兩個方面的內(nèi)容。顧客到達系統(tǒng)后不能立即接受服務(wù)就要排隊，這受到服務(wù)率的影響，別一方面也受到存貯子系統(tǒng)中缺貨情況的影響。因為如果缺貨，此時排隊系統(tǒng)就要停止服務(wù)，這會增加排隊系統(tǒng)中排隊的顧客數(shù)量。

在不缺貨的情況下，M/M/s/k排隊系統(tǒng)的平均排隊長的計算如下：

設(shè)N(t)表示t時刻系統(tǒng)的顧客數(shù)，Pn=P（N（t）），則在M/M/s/k排隊系統(tǒng)中有(1){N(t)，t≥0}為有限生滅過程，其狀態(tài)空間為I={1，1，2，…k}，在系統(tǒng)穩(wěn)定的情況下：

當(dāng)發(fā)生缺貨時，隊長就要在平均排隊長的基礎(chǔ)上，再加上在缺貨時間內(nèi)進入系統(tǒng)的顧客數(shù)。求出發(fā)生缺貨的概率p，根據(jù)負指數(shù)分布的性質(zhì)，平均補充所需時間為ε。則排隊空間的大小為：

系統(tǒng)發(fā)生缺貨的概率即為需求大于現(xiàn)存量的概率。系統(tǒng)在存貨量小于s的時候開始進行存貨補充，補充所需要的時間為服從參數(shù)為ε的負指數(shù)分布。由于在存貨量為s的時候，即在還沒有發(fā)生缺貨的時候就進行補充了，所以缺貨發(fā)生的概率即為在補充時間內(nèi)需求量大于s的概率。

在時間t內(nèi)，進入系統(tǒng)的平均人數(shù)為λ×t，系統(tǒng)中平均排隊人數(shù)為L，所以在這段進間內(nèi)發(fā)生缺貨的概率為:

由此可得出系統(tǒng)最優(yōu)排隊空間為：

3.3 最優(yōu)服務(wù)臺個數(shù)和最優(yōu)服務(wù)率的確定

由于在缺貨的情況下，排隊子系統(tǒng)的服務(wù)完全停止，而在不缺貨的情況下，排隊子系統(tǒng)不受存貯子系統(tǒng)的影響正常工作。因此，排隊子系統(tǒng)中的最優(yōu)服務(wù)率和最優(yōu)服務(wù)臺個數(shù)不受到存貯子系統(tǒng)的影響，僅需要考慮系統(tǒng)正常駐機構(gòu)工作的情況來確定。

排隊子系統(tǒng)在平穩(wěn)狀態(tài)下單位時間內(nèi)的總費用是服務(wù)費用和等待費用之和為：z=cs+cwL，其中s為服務(wù)臺個數(shù)，cs為每個服務(wù)臺單位時間內(nèi)的費用，cw是單位時間內(nèi)待費用，L是平均長。

因此，利用邊際分析方法可得到使z最小的s確定方法為

依次求出s=1，2，…時L的值，計算相鄰兩個L值的差。根據(jù)cssw的值落入哪個與s有關(guān)的不等式中，即可確定出最優(yōu)的s。

最優(yōu)服務(wù)率的確定，以M/M/1/k模型為例，在平穩(wěn)狀態(tài)下單位時間內(nèi)時入系統(tǒng)的顧客數(shù)為λe=λ(1-1-ρk1-ρk+1)，也等于單位時間內(nèi)服務(wù)完的顧客數(shù)。假設(shè)每服務(wù)一個顧客系統(tǒng)收入為G，λ=1時單位時間內(nèi)服務(wù)成本為cs，于是單位時間內(nèi)利潤為：

4 結(jié)論

把存貯系統(tǒng)和排隊系統(tǒng)組成的整個系統(tǒng)進研究要比單個對其進行研究要復(fù)雜的多，因為每個子系統(tǒng)變量的變化同時都會對另外一個子系統(tǒng)造成影響。因而，求解系統(tǒng)參數(shù)的時候就必須要考慮到更多的影響因素。正是因為其相互影響的作用，使得對二者單獨進行求解不會達到整個系統(tǒng)的最優(yōu)，因此，對二者的相互影響下的參數(shù)進行研究具有理論和現(xiàn)實意義。

在本文中，對系統(tǒng)參數(shù)的求解應(yīng)用了對單個子系統(tǒng)進行研究求解過程中考慮進另一個系統(tǒng)的影響的方法，具有一些局限性。排隊系統(tǒng)和存貯系統(tǒng)都有多種策策略，而同時確定這些策略也是一個比較復(fù)雜的問題，這就減少了在現(xiàn)實應(yīng)用中的指導(dǎo)意義。如果能利用系統(tǒng)論的有關(guān)知識，求出這些參數(shù)，對生產(chǎn)指導(dǎo)會有更大的意義。

參考文獻

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注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。