高中數(shù)學(xué)相切題型的解法探討

[摘要]求圓的切線方程，求與直線相切的圓方程及其它與相切有關(guān)系的題型是我們在學(xué)習(xí)中常見的，解法靈活。在解答中我們要選擇最為合理的解題方法，提高解題效力，筆者在此敘述幾則供參考。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)教學(xué) 題型 解題方法

一、位置關(guān)系

1.直線與圓相切——圓心到直線的距離等于圓半徑

例1.求經(jīng)過（1，4）與圓x2+y2-6x+5=0相切的切線方程。

解：化圓為標(biāo)準(zhǔn)方程，得（x-3）2+y2=4，所以圓心為（3，0），半徑為2，當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)直線方程為y-4=k(x-1)，即kx-y+4-k=0

由相切關(guān)系，得｜2k+4｜k2+1=2，所以k=-34。

故切線方程為3x+4y-19=0

當(dāng)切線斜率不存在時，有已知條件、相切關(guān)系得切線方程為x=1

所以所求切線方程為x=1或3x+4y-19=0

2.圓與圓相切——連心距等于兩半徑之和或差

例2.已知圓A的方程為（x-1）2+（y-2）2=1，求與該圓相切又與x軸相切于點M(4，0)的圓方程。

解：因為所求圓與X軸相切于點M（4，0），所以可設(shè)圓心B（4，a），（a＞0）且r=a；又因為圓A與圓B相切，所以|AB|=±1。

由兩點距離公式得（4-1）2+（a-2）2=a±1

解得：a=2或a=6

故所求的相切圓方程

(x-4)2+(y-2)2=4或(x-4)2+(y-6)2=36

二、判別式法

建立方程組，議程組有唯一解，注意下例直線與雙曲線相交有一個交點是直線與雙曲線相切的必要條件。

例3.已知雙曲線X-y23=1的左準(zhǔn)線與X軸的交點為M，求過點M與雙曲線相切的直線方程。

解：雙曲線的左準(zhǔn)線方程為x=-212，故M點坐標(biāo)為（-12，0），由題意過M的直線y=k(x+12)與雙曲線有唯一解。即

y=k(x+12)，①

3x2-y2=3，②

此方程組有唯一解

①式代入②整理得

（3-k2）x2-k2x-(14k2+3)=0，

因為此方程有唯一解，所以

當(dāng)3-k2=0，有唯一解，得k=± 3，但此k與漸線斜率相同，直線y=± 3 (x+12)不是切線

當(dāng)3-k2≠0，△=k4+4(3-k2)(14k2+3)=0時，有唯一解，得：k=±2

所以切線方程為：

y=-2(x+12)或y=2(x+12)

三、點圓法

切點（a，b）看成半徑為零的圓，方程為(x-a)2+(y-b)2=0，點圓法用于直線和圓相切的題型中，可簡化解題過程。

例4.已知A（4，-1）和圓x2+y2+2x-6y+5=0上的點B（1，2）。

求：①切點為B的圓的切線方程；

②與圓相切于B且過點A的圓方程。

解：（1）點圓B的方程為(x-1)2+(y-2)2=0即

x2+y2-2x-4y+5=0；①

已知圓方程為

x2+y2+2x-6y+5=0。②

①式-②式，即得切線方程

Y=2x

(2)點圓B的方程為(x-1)2+(y-2)2=0，于是過點圓與已知圓交點的圓系方程為

(x-1)2+(y-2)2+λ(x2+y2+2x-6y+5)=0

因過點A（4，-1），于是把坐標(biāo)代入，得λ=-12，所以，所求的圓方程為

x2+y2-6x-2y+5=0

四、為零法

題型是有關(guān)曲線系相切問題。解題過程中應(yīng)用了關(guān)于某參數(shù)等式恒成立的意義。

1.求圓系的公切線

例5.已經(jīng)圓的方程為x2+y2-2ax-4ay+92a2=0(a≠0)，求當(dāng)a變化時，求所有圓的公切線方程。

解：將圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形，得

(x-a)2+(y-2a)2=(22a)，

所以圓心為（a，2a）

設(shè)公切線方程為y=kx+b，即

Kx-y+b=0

這里是一個圖片因為圓心到直線的距離為半徑，所以有

|ka-u+b|k2+1=22|a|

兩邊平方，整理得

（12k2-4k+72）a2+2(k-2)ba+b2=0

上式為關(guān)于a的恒等式，根據(jù)其意義，得

12k2-4k+72=0

2（k-2）b=0

b2=0

所以b=0；k=1或k=7

故所求切線方程為

y=x或y=7x

2.求直線系的相切圓

例6.求與直線kx-y+2 k2+1+1=0，當(dāng)k∈R時，都相切的圓方程。

解：設(shè)所求圓方程為(x-a)2+(y-b)2=r，則圓心（a，b）到直線的距離為r，得

即：

上式對k∈R恒成立，故有a=0

1-b=0

r=2

所以，所求圓方程為X2+(y-1)2=4

五、公式法

以點（x0，y0）為切點，曲線x2+y2=r2，x2a2+x2b2=1(a＞b＞0)，x2a2-x2b2=1（a＞0，b＞0），y2=2px

(

六、導(dǎo)數(shù)法

例8.設(shè)點An（xn，0）和曲線Cn：fn(x)=13x2+32n(n∈N*)，

xn(xn＞0)由以下方法得到：x1=3，點A1（x1，0）的直線與曲線C相切，切點為（x2，f1(x)）;過點A2(x2，0)的直線與曲線C2相切，切點為（x3，f2(x3)）;……，過點An(xn，0)的直線與曲線Cn相切，切點為（xn+1，fn(x

（作者單位：浙江義烏市大成中學(xué)）