淺談數學文化中的和合思想

[摘要]數學文化中蘊含著豐富的和合思想。數學的整體系統性、平衡穩定性、有序對稱性是和合思想的具體體現。

[關鍵詞]數學文化 和合思想 整體 平衡 有序

和合是我國傳統文化的一個重要概念。“和”是平和、和諧、祥和、協調的意思。“合”是合作、對稱、結合、統一的意思。和合思想認為，整個物質世界是一個和諧的整體，宇宙、自然、社會、精神各元素都處在一個和諧的優化結構中。而數學文化系統就是一個完美的和諧優化結構。數學文化中的數學發展史、數學哲學思想、數學方法、數學美育等重要內容蘊含著豐富的和合思想。其具體體現是整體系統性、平衡穩定性、有序對稱性。

一、整體系統性

1.數學公理系統的相容性

數學的公理化系統具有相容性、獨立性和完備性。在這三項基本要求中，最主要的是相容性。相容性就是不矛盾性或和諧性，是指各公理不能互相抵觸，它們推導的真命題也不能互相矛盾，公理系統的相容性是數學系統和諧的基礎，也是基本要求。

除了數學各分支自身要形成相容的公理系統之外，數學還要求各分支之間互相協調，不能互相抵觸。有的系統之間，還形成密切的同構關系，在不同的數學系統之間，相容性是一致的。例如歐氏幾何與非歐幾何（羅式幾何、黎曼幾何）中平行公理是互否的命題，可在歐氏幾何中構造非歐幾何的模型，所以可以這樣說只要歐氏幾何無矛盾，那么非歐幾何也是無矛盾的。

2.數學運算系統的完整性

數學的運算法則、運算公式、運算結論都是完整的、準確的。特別是數學的運算語言，它把文字語言、符號語言、圖像語言完全融合到一個統一體中，互相印證、互相詮釋、互相轉化，達到了天衣無縫的完美。當擴充數系時，要建立新的理論和運算拓廣原有運算和關系時，要盡量保持原有的運算、關系的一致性，如有不一致，必須作一規定，使新系統與原有系統和諧。

3.數學推理系統的嚴密性

在我們日常的數學活動中，常常用到反證法，在這種方法中，往往不僅要用到系統的公理和定理，而且要用到其他分支的知識。在整個推理過程中要和諧。例如古希臘三大著名問題之一化圓為方，即作一個與給定圓面積相等的正方形。要證明用圓規和直尺不能作出等面積的正方形就需要用到數 “=”的超越性。

在數學上的等式、解析式中出現“=”是和諧的體現。

二、平衡穩定性

“和合思想”認為天地自然萬物處于平衡、和諧、有序的狀態。各個事物、要素互依、互涵、互補，處于全面的、立體的相互作用的過程之中。而數學的平衡穩定性很好地體現了和合思想。

1.數學發展的平衡穩定

數學科學與其它學科相比，一個重要的特點就是歷史的累積性、發展的平衡穩定性。也就是說重大的數學理論總是在繼承和發展原有理論的基礎上建立起來的，他們不僅不會推翻原有的理論，而且總是包容原有的理論。比如天文學的“地心說”被“日心說”所代替，物理學中關于光的“粒子說”被“波動說”代替，化學中的“燃素說”被“氧化說”代替等等，而數學從來沒有發生過這樣的情況。這正如一位數學史家H?漢科爾所說：“在大多數學科里，一代人的建筑為下一代人所拆毀，一個人的創造被另一個人所破壞，唯獨數學，每一代人都在古老的大廈上添加一層樓”。數學的這一平衡穩定性，正是數學學科能不斷煥發出無限活力和強大生命力根源。

2.數學學習過程的平衡穩定

人們對知識的學習過程都含有一定的認知結構。而學生學習數學知識的過程不外乎“同化—順應—平衡”這樣一個相對穩定的過程。同化就是把新的知識納入已有的認知結構，使原有的知識體系不斷得到充實豐富。順應就是新的知識不能納入原有的認知結構，就要對原有認知結構進行改造和提高，從而建立新的認知結構。平衡就是同化和順應后，都有一個鞏固階段，在這一階段對知識的理解和內化是平衡穩定的。人們對數學知識的學習正式在“同化—順應—平衡”這樣一個循環往復的過程中發展的。

3.數學方法的平衡穩定

數學方法是認識數學客體過程中某種有規律的程序和手段，使理論用于實踐的中介，各種方法都和諧地存在在數學這個共同體中。比如常用的數學思維方法：觀察、分析、綜合、抽象、猜想、類比、歸納、演繹；還有常用的數學解題方法：比較方法、結構方法、模型方法、構造方法、化歸方法、映射反演法、幾何變換法、公理化方法等。這些方法，無論是在初等數學中，還是在高等數學中；無論是在幾何學中，還是在代數學中，都在廣泛的運用，始終處于平衡穩定狀態中，不會因時間、空間、以及學科的變化發生變異。

幾何變換思想和方法，就是用運動和變化的觀點去研究幾何對象及其相互關系，探討圖形運動過程中不變的關系、不變量和變化關系、變化量，從中找出規律。在解題過程中，對圖形有關部分進行變換，化不規則為規則，化一般為特殊，化不利條件為有利條件。

三、有序對稱性

“凡物必有合”，“合”就是對稱、結合、統一。整個世界不僅和諧合理，而且陰陽和合的對稱。

1.數學的有序對稱美

在初等數學中研究的對稱性，可以描述的是一個圖形、一個式子各個部分的關系，也可以描述兩個圖形、式子的關系。圖形、式子的變換顯示著數學中的對稱美。

圖形對稱可稱為狹義對稱，例如中心對稱圖形、軸對稱圖形、旋轉對稱圖形是圖形位置的一種對稱。顯示一種對稱的美。

在許多概念中和方法、命題、公式、法則中也存在對稱性，也可稱為一種對稱。

在數學中，許多概念都是一正一反，相輔相成，成對出現的。例如數學運算中加與減、乘與除、乘方與開方、微分與積分等，都可認為是一陰一陽的對稱；減一個負數可變成加一個正數，除可以變成乘的運算，所以說它們之間又是統一有序的。在二元運算中通過交換律、結合律、分配律來反映其對稱性。

2.數學解題過程的有序結構

從文化的角度審視數學解題過程它是數學策略、數學邏輯、數學方法、數學知識、數學技能與程式化的有機結合，是一個有序結構的統一體。比如解方程過程的基本步驟是：去分母、去括號、移項合并、兩邊同除以未知數的系數。這是一個和諧的有序結構。破壞了這個有序結構，就會發生解題障礙。從思維過程看，它是“觀察——聯想——轉化”這樣一個有序過程。觀察是聯想的基礎，在觀察中認識所給題目的特征；聯想是轉化的橋梁，在聯想中尋找解題途徑；轉化是解題的手段，在轉化中確定解題方案，從而最終解決問題。

數學無論是從整體和局部，形式和內容，還是結果和過程都體現著和合思想的精神和內涵。我們用“和合思想”重新認識數學，發揮數學文化在教學中的教育功能，就能有效地培養學生科學素養和文化素養。

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（作者單位：寧夏生態工程學校）