變換角度，巧妙解題

[摘要]司馬光破缸救小孩的故事，在我國家喻戶曉。分析司馬光和眾小孩在思維能力上的差異，對我們很有啟發。眾小孩只考慮到如何使“人離開水”，而司馬光卻由此逆向地考慮到如何使“水離開人”，這就是我們常說的逆向思維，它是指在研究問題的過程中有意去做與習慣思維方向完全相反的探索，它是進行數學思維的重要方法。

[關鍵詞]數學教學 角度 思考 變換

有些數學問題，如果僅僅從某個固定的角度去思考，往往會一籌莫展。遇到這種情況，要引導學生及時改變思考問題的角度，從問題的側面或反面去分析，常可使人茅塞頓開，走出“山窮水盡”的困境，找到“柳暗花明” 又一村的快感。經常引導學生從各個角度、不同方向、運用多種觀點去分析，思考數學問題，可使學生思路開闊。那么，在數學教學中應怎樣激發學生思維的積極性、變通性、獨創性呢？筆者就如何變換思考問題的角度，巧妙解題略談淺見，以就教于廣大同行。

一、正面與反面的變換

“十#8226;一”國慶節，蘇步青學校的七年級有100名同學和部分老師參加文藝演出。同學們熱情高潮，都提前來到會場，有一位細心的同學觀察到：老師們到會時，都與第一排的同學一一握手，向同學們問好。其中第一個到會的老師與第一排的全部同學握手，第二個到會的老師只差1個同學沒有握過手。如此到最后一個到會的老師與9個同學握過手。已知老師與第一排的同學共有20人，你能算出到會的老師與第一排的同學各有多少人嗎？

分析：不妨從“最后一個到會的老師與9個同學握過手”入的手，進行逆向思考，探究老師人數與第一排學生人數間的關系。

解：由題意，最后一個到會的老師與9個同學握過手，那么倒數第二個到會的老師與10個同學握過手，倒數第三到會的老師與11同學握過手，依次直到第一到會的老師與全部同學握過手，從而可知，同學的人數比老師的人數多8個人，所以到會的老師人數為（20－8）÷2=6（人）。

評注：有時逆向思考問題，往往會給解題帶來方便，本題如果從第一位老師入手，也可以這樣來考慮：設老師共有x人，則第1個到會的老師與（20－x）個同學握過手，第2個到會的老師和（19－x）個同學握過手，第3個老師和（18－x）個同學握過手，……第x個老師和[20－（x－1）－x]個。即（21－2x）個同學握過手，于是有21－2x=9，解得x=6（人）。

二、常量與變量的變換

已知實數a，b，c滿足a≠b，且2007(a-b)+2007(b-c)+(c-a)=0，求(c-a)(c-a)(a-b)2的值。

分析：顯然求a，b，c的值是不可能的，同樣直接尋求a，b，c的關系式也很困難。這時我們不妨將常量和變量換一下角色，將常量設為變量，將變量設為常量，即設x=2007，則2007=x2，原等式就成了關于x的一元二次方程，可用韋達定理解之。

解：設x=2007，原等式就成了關于x的一元二次方程；

(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)=0

因為(a-b)+(b-c)+(c-a)=0，

所以方程(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)=0必有一根為1。

即x=1或x=2007。

由韋達定理，得

三、已知與未知的變換

（第三屆“祖沖之杯”初中數學競賽題）

求正整數a，使得關于x的方程ax2+2(2a-1)x+4a-7=0一個整數解。

分析：若把x當作未知數，解關于x的方程，那么將會相當麻煩；這時我們可以考慮將a當作未知數，x當作已知數，將原方程整理為關于a的一次方程(x+2)2a=2x+7，這就向成功的目標邁進了一大步。

解：將原方程整理為關于a的一次方程(x+2)2a=2x+7，

∵x≠－2，∴a=2x+7(x+2)2

∵a為正整數，∴a≥1

∴2x+7(x+2)2≥1，解得－3≤x≤1

∴x可以取整數－3，－1，0，1

對應a的值為1，5，74，1

∴a=1或5

經檢驗知，a=1或5符合要求。

又解：將原方程整理為關于a的一次方程(x+2)2a=2x+7

∵x≠－2，∴a(x+2)=2x+7(x+2)=2+3x+2

由（x+2）︳3可得x+2=±1或±3。

注意到a為正整數，∴x=1或－1

∴a=1或5。

經檢驗知，a=1或5符合要求。

四、直線型和圓的變換

圖1

如圖1，D是△ABC的邊BC上一點，AD=AC=2，AB=4，BD=4CD，求BC的長。

分析：如果用常規的方法來解，就是作BC邊上的高線，顯然比較麻煩。而用圓的知識就來解就顯得很簡單。

解：如圖2，∵AD=AC=2，∴可以作以A為圓心，AD為為半徑的⊙A，則C點必在這個圓上；

圖2

由圓的知識可得：BD#8226;BC=AB2－AD2

∵AB=4，BD=4CD，∴45BC2=12，BC=15。

當我寫完這個解法時，教室里一片驚呼，哇，這個解法真的好簡單！

五、局部與整體的變換

如圖3，兩個同心圓。大圓的弦AB與小圓相切于P，大圓的弦CD經過點P，且CD=13，PD=4，則兩圓組成圓環的面積是（）

A．16πB．36πC．52πD．81π

分析：對此題有的學生覺得只要能求出大、小圓的半徑，那么圓環的面積就能迎刃而解了。但他們想盡各種辦法，就是無法求出大、小圓的半徑（實際上是無法求）。這時就要引導學生變換思考問題的角度：觀察圓環面積公式，提出公因式π，把兩圓半徑平方差看作整體求值，問題即可解決。

解：連結OP，OB（如圖4），

圖5

∵AB是小圓O的切線，P是切點，

∴OP⊥AB，

∴OB2－OP2=PB2；

又AB是大圓O的弦，∴PA=PB，

∵CP=CD－DP=13－4=9

∴PB2=AP×PB=CP×PD=9×4=36，

∴S圓環=S大－S小=πOB2－πOP2=…=36π，故選（B）。

六、數和形的變換

如圖5是連接在一起的兩個正方形，大正方形的邊長是小正方形邊長的兩倍。問：若只許剪兩刀。如何裁剪，使之拼成一個新的大正方形。

分析：許多學生會采取實驗的方法，這里裁一刀，那里試一剪，但結果卻極少有人能在短時間內碰巧找到答案。

變換思考問題的角度，從問題的“變”中看出“不變”的東西：面積，這就從“形”的表面上找到了“數”這一實質性的東西。

解：從已知到結論，圖形雖變了，但其中沒變的東西是面積：若設小正方形面積為1，則兩正方形面積之和是5，也就是說，所拼得的正方形面積仍為5，而其邊長就應是5了，這樣一來，顯然我們僅須沿著圖中長為5的線段去考慮裁剪就行（圖中這樣的線段沒有幾條），答案于是很快就找到了。

這個純幾何的問題，在“數”的引導下獲得了最好的解決方式，這是一種由表及里，形中見數的思想方法，正是數學中“數形結合”的思想方法。

幾何方法具有直觀、形象的優勢，代數方法的特點是解答過程嚴密、規范、思路清晰。華羅庚說過：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”，應用數形結合的思想就能揚這兩種方法之長，避呆板單調之短。

七、直接與間接的變換

（愛因斯坦喜愛的趣題中的第二題）

5只猴子找到一堆桃子，怎么分也平分不了，于是大家同意先去睡覺，明天再說。夜里，一只猴子再偷偷起來，吃掉1個桃子，剩下的桃子正好平分成5等份，它藏起自己的1份，然后再去睡覺。過了一會兒，第二猴子起來，也吃掉1個桃子，剩下的桃子也正平分成5等份，它也藏起了自己的1份，然后再去睡覺。第三、第四、第五只猴子也都依次這樣做。問：最初那堆桃子最少有多少個？

分析：本題如果用常規方法來做，就是先設這堆桃子有x個，根據題意列表如下：

因為找不到相等關系，所以很難做下去了。如果我們間接設未知數，即設每次剩下的蘋果數分別為y1，y2，y3，y4，y5，那么問題就簡單多了。

解：設最初至少有x個蘋果，每次剩下的蘋果數分別為y1，y2，y3，y4，y5，則y1=45(x-1)=45(x+4)-4

y2=(45)2(x+4)-4

……

y5=（45）5（x+4）-4

要使y5是正整數，則必須（x+4）必是55的倍數，且x的最小值為55－4=3125-4=3121個。

答：最初那堆桃子最少有3121個。

聽說齊天大圣孫悟空當年是這樣解的，他把猴毛拔下4根，丟入口中嚼碎，噴將出去，叫聲“變”，就變成4個桃子這4個桃子與那堆里的桃子在品種上、顏色上都一模一樣——不妨叫做“猴毛桃子”，趁五猴熟睡時，偷偷地放到那堆桃子中……。

所以，原來那堆桃子的個數最少為：5×5×5×5×5-4＝3121。

齊天大圣孫悟空思路如此新穎有趣，方法獨到巧妙簡明，是真得嗎？

這個題雖有真點難，但它很有趣。不知愛因斯坦當年是用什么方法解出來的？

愛因斯坦說過，“興趣是最好的老師。”好的數學趣味題，是引導人們進入數學海洋的航標，是鍛煉人們思維能力的健身器，也是勤于思索的人們愿意欣賞的一朵智慧的小花！”

習題是數學的心臟，數學課本的習題是學生數學素質教育的源泉，刻意探討習題的推廣、變換及應用，不僅能培養學生對問題認識的深刻性、廣闊性，而且能培養學生的創新能力、應用意識和發散思維。國家教育部考試中心指出：設計出不同解題思想層次的試題，使善于知識遷移和運用思維塊簡縮思維的考生能用敏捷的思維贏得時間，體現出創造力。

贊可夫說過：“凡是沒有發自內心求知欲和興趣的東西，是很容易從記憶中揮發掉的”。贊可夫這句話說明了發散思維能力的形成，需要以樂于求異的心理傾向作為一種重要的內驅力。

徐利治教授曾給出這樣一個公式：創造能力=知識量+發散思維能力。從這里我們可以看到培養發散思維能力的重要性。

科學研究表明，新穎，別出心裁，有創造性的見解常常出現在思維的后半段。而能提出新異的想法和解法，這是思維獨創性的表現。能大膽地提出與眾不同的意見與質疑，獨辟蹊徑地解決問題，這樣才能使思維從求異、發散向創新推進。

變換角色思考問題，無處不在，除以上列舉的七種情形外，還有很多。比如相等與不等變換，特殊與一般變換，代數與幾何變換，平面與空間變換等。如果我們在平常的數學教學中仔細留意，并大膽嘗試，促使學生的思維由橫向向縱向發散，這對提高學生的學習成績將起著事半功倍的作用。

參考文獻：

[1]《階梯訓練》七年級.浙江教育出版社.

[2]趣味數學.漢語大詞典出版社.

[3]初中數學教與學.2007，（11）.

[4]數理天地.2007，（10）.

[5]在數學教學中培養學生思維能力.

[6]朱曉娟.數學教學中的創造思維和創新能力的培養.

[7]讓低年級孩子在評價中體驗學習的快樂.

[8]中學教研（數學）.2005，（4）：11.

（作者單位：浙江平陽新紀元學校）