利用向量計算空間圖形中的空間角

空間圖形中的異面直線所成角、線面成角、二面角的計算在立體幾何中占有極其重要的地位，這些問題的解決總是需要較高的技巧性。事實上，在具體的學習中我們發現，若僅僅依據定義尋找這些空間角是很困難的，往往要做很多的輔助線，而且有時也難以達到求出角大小的目的。高中新教材引入向量的內容并作為獨立的章節來介紹，將向量應用于立體幾何中，使得解決空間角的難點得到了有效化解。同時，運用向量解決這些問題的過程，又是數形結合思想的又一體現。以下舉例給予說明。

一、 求異面直線所成角

二、 求線面所成的角

例2 （2003年江蘇省高考題）如圖3，直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，側棱AA1=2，D，E分別是CC1與A1B的中點，點E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，求A1B與平面ABD所成角的大小（結果用反三角函數表示）。

三、 求二面角

命題三：如圖4，平面α與平面β所成的二面角為θ，平面α的法向量為n1，平面β的法向量為n2，向量n1與n2所成的角為α，則cosθ=cos（π-α）=-cosα。

例3 （2005年合肥市二模試題）如圖5，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD是正三角形，且AD=DE=2AB，F是CD的中點。（1）求證：平面CBE⊥平面CDE。（2）求平面FEB與平面BCE所成二面角的度數α。

解 （1）（略）。

此題若要通過作二面角來解決，顯然還要繼續作復雜的輔助線，而借助構成二面角的兩平面法向量的夾角，即可求得二面角。平面向量是數形結合的橋梁，可以將形的內容轉化為數的運算，把空間結構代數化，把空間的研究從定性推向定量的深度，有利于學生克服空間想象力的障礙和作圖的困難，既直觀又容易接受。