動(dòng)量守恒定律“三個(gè)”選取

動(dòng)量守恒定律是宏觀世界和微觀世界都遵守的共同規(guī)律，應(yīng)用非常廣泛。動(dòng)量守恒定律的適用條件是相互作用的系統(tǒng)不受外力或所受外力之和為零，實(shí)際上真正滿(mǎn)足不受外力的情況幾乎是不存在的。所以，動(dòng)量守恒定律應(yīng)用重在“三個(gè)”選取。

一、 動(dòng)量守恒條件近似性的選取

根據(jù)動(dòng)量守恒定律成立時(shí)的受力情況分以下四種：

1.系統(tǒng)（有相互作用的物體通常稱(chēng)為系統(tǒng)）受到的合外力為零的情況。

2.系統(tǒng)所受的外力（外力：外部其他物體對(duì)系統(tǒng)的作用力）比相互作用力（內(nèi)力：系統(tǒng)中各物體之間的相互作用力）小很多，以致可以忽略外力的影響。因?yàn)閯?dòng)量守恒定律是針對(duì)系統(tǒng)而言的，它告訴我們，系統(tǒng)內(nèi)各個(gè)物體之間盡管有內(nèi)力作用，不管這些內(nèi)力是什么性質(zhì)的力，系統(tǒng)內(nèi)力的沖量只能改變系統(tǒng)中單個(gè)物體的動(dòng)量，而不能改變系統(tǒng)的總動(dòng)量。如碰撞問(wèn)題中摩擦力、碰撞過(guò)程中的重力等外力比相互作用的內(nèi)力小得多且碰撞時(shí)間很短時(shí)，可忽略其力的沖量的影響，認(rèn)為系統(tǒng)的總動(dòng)量守恒。這是物理學(xué)中忽略次要因素，突出重點(diǎn)的常用方法。

3.系統(tǒng)所受外力之和雖不為零，但在某個(gè)方向上的分量為零，則在該方向上系統(tǒng)總動(dòng)量的分量保持不變。如炮彈在空中爆炸，在水平方向動(dòng)量守恒，豎直方向受重力作用，其合外力不為零，因而豎直方向動(dòng)量不守恒。

4.全過(guò)程的某一階段系統(tǒng)受的合外力為零，則該階段系統(tǒng)動(dòng)量守恒。

例1 質(zhì)量為3 kg的小球A在光滑水平面上以6 m/s的速度向右運(yùn)動(dòng)，恰遇上質(zhì)量為5 kg的小球B以4 m/s的速度向左運(yùn)動(dòng)，碰后B球恰好靜止，求碰后A球的速度。

分析 由題意知，兩球都在光滑的水平面上運(yùn)動(dòng)，碰撞過(guò)程中系統(tǒng)所受合外力為零，因此系統(tǒng)動(dòng)量守恒，碰撞前兩球動(dòng)量已知，碰后B球靜止。

解 設(shè)球初速度方向?yàn)檎蓜?dòng)量守恒定律有：

例2 甲、乙兩小孩各乘一輛冰車(chē)在水平冰面上游戲。甲和他的冰車(chē)的總質(zhì)量M甲為30 kg，乙和他的冰車(chē)的總質(zhì)量M乙也是30 kg。游戲時(shí)，甲推著一質(zhì)量m為15 kg的箱子，和他一起以大小為2 m/s的速度v0滑行。乙以同樣大小的速度迎面滑來(lái)。為了避免相撞，甲突然將箱子沿冰面推給乙，箱子到乙處時(shí)乙迅速把它抓住。若不計(jì)冰面的摩擦力，求甲至少要以多大的速度（相對(duì)于地面）將箱子推出，才能避免和乙相碰。

分析 甲推出箱子和乙抓住箱子是兩個(gè)動(dòng)量守恒的過(guò)程，可運(yùn)用動(dòng)量守恒求解。甲把箱子推出后，甲的運(yùn)動(dòng)有三種可能：一是繼續(xù)向前，方向不變；二是靜止；三是方向改變，向后倒退。按題意要求，是確定甲推箱子給乙，避免跟乙相碰的最小速度。上述三種情況中，以第一種情況甲推出箱子的速度最小，第二、第三種情況則需要以更大的速度推出箱子才能實(shí)現(xiàn)。

解 設(shè)甲推出的箱子速度為v，推出后甲的速度變?yōu)関1，取v0方向?yàn)檎较颍瑩?jù)動(dòng)量守恒有：

（M甲+m）v0=M甲v1+mv ①

乙抓住箱子的過(guò)程，動(dòng)量守恒，則：

M乙v+mv0=（M乙+m）v2 ②

甲、乙兩冰車(chē)避免相撞的條件是v2≥v1，取：

v2=v1 ③

聯(lián)立①、②、③式，并代入數(shù)據(jù)解得v=5.2 m/s。

本題僅依據(jù)兩個(gè)動(dòng)量守恒的過(guò)程建立的方程還不能求解，關(guān)鍵是正確找出臨界條件，并據(jù)此建立第三個(gè)等式才能求解。

例3 將質(zhì)量為m的鉛球以大小為v0的速度，沿傾角為θ的方向拋入一個(gè)裝著沙子的總質(zhì)量為M的靜止沙車(chē)中，如圖1所示，設(shè)車(chē)與地面的摩擦可忽略，則球落入沙車(chē)后，車(chē)的速度多大？

分析 對(duì)鉛球和沙車(chē)所組成的系統(tǒng)，在相互作用過(guò)程中，總動(dòng)量不守恒，因?yàn)殂U球進(jìn)入沙車(chē)后豎直方向動(dòng)量減為零，但系統(tǒng)在水平方向不受外力作用，在水平方向總動(dòng)量守恒。

解 設(shè)球落入沙車(chē)后的共同速度為v，v的方向?yàn)檎较颍瑒t由水平方向動(dòng)量守恒有：

mv0cosθ=（m+M）v，

二、 動(dòng)量守恒過(guò)程的選取

滿(mǎn)足動(dòng)量守恒條件時(shí)，總動(dòng)量保持不變，不是僅指系統(tǒng)初末兩狀態(tài)總動(dòng)量相等，而是指系統(tǒng)在相互作用的整個(gè)過(guò)程中，每一時(shí)刻總動(dòng)量都不變。動(dòng)量守恒條件是否滿(mǎn)足，關(guān)鍵在于過(guò)程如何選取。

例4 一列車(chē)沿平直軌道以速度v0勻速前進(jìn)，途中最后一節(jié)質(zhì)量為m的車(chē)廂突然脫鉤，若前部列車(chē)的質(zhì)量為M，脫鉤后牽引力不變，且每一部分所受摩擦力均正比于它的重力，則當(dāng)最后一節(jié)車(chē)廂滑行停止時(shí)，前部列車(chē)的速度為多大？

分析 在列車(chē)與車(chē)廂脫鉤前，兩者共同向前做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，牽引力F等于摩擦力Ff，F(xiàn)f =k（m+M）g（k為比例系數(shù)），因此，整個(gè)列車(chē)所受的合外力等于零。列車(chē)與尾部車(chē)廂脫鉤后，這時(shí)列車(chē)做勻加速運(yùn)動(dòng)，車(chē)廂做勻減速運(yùn)動(dòng)，它們各自所受合外力都不為零，但由于列車(chē)牽引力不變，每一部分所受摩擦力仍正比于它們的重力，也不變。脫鉤后系統(tǒng)所受的合阻力Ff =f1+f2不變。因此，如果把整個(gè)列車(chē)作為研究對(duì)象，脫鉤前后所受合外力始終為零，在尾部車(chē)廂停止前的任何一個(gè)瞬間，整個(gè)列車(chē)（前部+尾部）的動(dòng)量應(yīng)該守恒。考慮剛脫鉤和尾部車(chē)廂剛停止這兩個(gè)瞬間。

解 設(shè)最后一節(jié)車(chē)廂滑行剛剛停止時(shí)列車(chē)的速度為v，取列車(chē)前進(jìn)的方向?yàn)檎较颍瑒t有：

（m+M）v0=0+Mv，

說(shuō)明 上述求解是根據(jù)列車(chē)受力的特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)剡x取研究對(duì)象，巧妙地運(yùn)用了動(dòng)量守恒定律，顯得非常簡(jiǎn)單。如果把每一部分作為研究對(duì)象，就需用牛頓第二定律等規(guī)律求解。有興趣的同學(xué)，請(qǐng)自行研究比較。

三、 動(dòng)量守恒系統(tǒng)的選取

對(duì)多個(gè)物體相互作用的動(dòng)量守恒問(wèn)題，如何選取系統(tǒng)，是學(xué)生常感棘手的問(wèn)題。因?yàn)閷?duì)多個(gè)物體組成的系統(tǒng)，有時(shí)應(yīng)用系統(tǒng)動(dòng)量守恒，有時(shí)應(yīng)用某部分動(dòng)量守恒，有時(shí)分過(guò)程多次應(yīng)用動(dòng)量守恒，有時(shí)只抓住初末狀態(tài)動(dòng)量守恒即可。要善于觀察、分析，正確選取動(dòng)量守恒系統(tǒng)。

例5 質(zhì)量M甲為100 kg的甲車(chē)同質(zhì)量m為50 kg的人一起以2 m/s的速度在光滑水平面上勻速向前運(yùn)動(dòng)，質(zhì)量M乙為150 kg的乙車(chē)以7 m/s的速度勻速由后面追來(lái)，為避免相撞，求當(dāng)兩車(chē)靠近時(shí)甲車(chē)上的人應(yīng)至少以多大水平速度跳上乙車(chē)。

分析 在人和車(chē)相互作用時(shí)，動(dòng)量守恒。設(shè)人跳起時(shí)水平速度為v人，當(dāng)人跳上乙車(chē)，兩車(chē)的速度相同均為v車(chē)時(shí)，兩車(chē)剛好不相撞。

解 設(shè)甲車(chē)原來(lái)的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎较颍x擇甲車(chē)和人組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象。應(yīng)用動(dòng)量守恒定律，有：

（M甲+m）v甲=M甲v車(chē)+mv人 ①

選擇乙車(chē)和人組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，應(yīng)用動(dòng)量守恒定律，有：

M乙v乙+mv人=（M乙+m）v車(chē) ②

由①、②式，得v人=-3 m/s。