解排列組合問題的常用技巧

排列組合是高中數學的重點和難點之一，也是進一步學習概率的基礎。事實上，許多概率問題也可歸結為排列組合問題。解答排列組合問題，首先必須認真審題，明確是屬于排列問題還是組合問題，或者屬于排列組合的混合問題。其次要抓住問題的本質特征，靈活運用基本原理和公式進行分析解答。同時，還要注意講究一些基本策略和方法技巧，使一些看似復雜的問題迎刃而解。下面介紹幾種常用的解題技巧。

一、 特殊元素“優先安排法”

對于帶有特殊元素的排列組合問題，一般應先考慮特殊元素，再考慮其他元素。

例1 用0，2，3，4，5這五個數字，組成沒有重復數字的三位數，其中偶數共有（）。

A.24B.30C.40D.60

二、 總體淘汰法

對于含有否定字眼的問題，還可以從總體中把不符合要求的除去，此時應注意既不能多減也不能少減。例如在例1中，也可用此法解答：五個數字組成三位數的全排列有 個，排好后發現0不能排首位，而且數字3，5也不能排末尾，這兩種不符合題意的排法要除去，故有 偶數。

三、 合理分類與準確分步法

解含有約束條件的排列組合問題，應按元素的性質進行分類，按事情發生的連續過程分步，做到分類標準明確，分步層次清楚，不重不漏。

例2 將五列火車停在五條不同的軌道上，其中a列車不停在第一軌道上，b列車不停在第二軌道上，那么不同的停放方法有（）。

A.120種 B.96種 C.78種 D.72種

四、 相鄰元素“捆綁法”

對于某幾個元素要求相鄰的排列問題，可先將相鄰的元素“捆綁”起來，看作一個“大”元素與其他元素排列，然后再對相鄰元素內部之間進行排列。

五、 不相鄰問題“插空法”

對于某幾個元素不相鄰的排列問題，可先將其他元素排好，然后再將不相鄰的元素在已排好的元素及兩端的空隙中插入即可。

例4 在例3中，若要求甲、乙、丙三人不相鄰，則又有多少種不同的排法？

六、等價轉換法

一些常見類型方法為自己熟悉之后，對于一些生疏問題或直接求解較為復雜或較為困難的問題，或者有些問題從正面入手情況較多，不易解決，這時可考慮能否進行等價轉換，從反面入手，或構造模型，將其轉化為一個較簡單的問題來處理。

七、 順序固定問題用“除法”或“自動上位法”

對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一同進行排列，然后用總排列數除以這幾個元素的全排列數。

例6 由數字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數字的六位數，其中個位數小于十位數字的共有（）個。

A.210B.300C.464D.600

八、 混合應用問題“先選后排法”

對于排列與組合的混合問題，可采用先選出元素，然后再進行排列的方法。

例7 4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的四個盒子，則恰有一個空盒的放法有多少種？

九、 “小團體”問題“先整體后局部法”

對于“小團體”排列問題，與“相鄰問題”相似，可先將小團體看作一個元素與其余元素排列，最后再進行小團體內部的排列。

十、 構造“隔板”模型法

對較復雜的排列問題，可通過設計另一個情景，構造一個“隔板”模型來解決問題。

例9 方程a+b+c+d=12有多少組正整數解？

分析 建立隔板模型：將12個完全相同的球排成一列，在它們之間形成的11個間隙中任意插入3塊隔板，把球分成4堆，而每一種分法所得4堆球的各堆球的數目，即為a，b，c，d的一組正整數解，故原方程的正整數解的組數共有

十一、 分排問題“直接法”

把幾個元素排成若干排的排列問題，若沒有其他特殊要求，可采取統一排成一排的方法來處理。

例10 7個人坐兩排座位，第一排坐3個人，第二排坐4個人，則不同的坐法有多少種？

分析 7個人可以在前后兩排隨意就座，再無其他條件，可采取統一排成一排來處理，不同的坐法共有 種。

十二、 表格法或圖像法

有些較復雜的問題可以通過列表使其直觀化。

例11 9人組成籃球隊，其中7人善打前鋒，3人善打后衛，現從中選5人（兩衛三鋒，且鋒分左、中、右、衛分左、右）組隊出場，有多少種不同的組隊方法？

分析 由題意知，必有1人既可打鋒，又可打衛，則只會鋒的有6人，只會衛的有2人。列表如下：

除上述方法外，有時還可以通過設未知數，借助方程來解答，簡單一些的問題可采取列舉法，還可以利用對稱性或整體思想來解題，等等。總之方法多種多樣，解題時一定要靈活運用，融會貫通。