“拉密定理”在力的放大器中的應用

解答物體受力平衡問題的方法較多，在此我們簡介拉密定理的應用。拉密定理是正弦定理變形推導而出，它無需構建力的三角形，只要能正確畫出受力示意圖，找出力之間的夾角就可求解。下面例舉運用拉密定理速解生活中力的放大器問題。

1 應用于解答電梯鋼繩拉力問題

例1 帶動電梯運動的金屬繩中的張力常常需要檢測，實際生活中，檢測員不能到繩的自由端去直接測量。某公司為此制造出了一種能測量繩子張力的儀器，工作原理如圖1所示，將相距為L的兩根固定支柱A、B垂直于金屬繩水平放置，在AB中點用一可動支柱C向上推動金屬繩，使繩在垂直于AB的方向豎直向上發生一個偏移量d(dL)，這時儀器測得繩對支柱C豎直向下的作用力為F，試用L、d、F表示這時繩子的張力T。

解析 由于是緩慢拉金屬繩，故可認為點C受力平衡。分析C點受力，其受力圖如圖2所示。

由拉密定理有：Fsin∠ACB=Tsin∠ACF，即Fsin2θ=Tcosθ，所以T=F2sinθ。

根據三角形的有關知識可解得：T=FL4d。

2 應用于解答簡易“千斤頂”問題

例2 一種簡易“千斤頂”，如圖3所示，一豎直放置的輕桿由于限制套管P的作用只能在豎直方向上運動。若支桿放一質量為M=100kg的物體，支桿的下端通過一與桿固定連接的小輪放在傾角為θ=37°斜面體上，并將斜面體放在光滑水平面上，現沿水平方向對斜面體施以推力F，為了重物頂起F最小為多大？（小輪摩擦和質量不計，g=10m/s2）

析與解 把重物頂起，斜面體是緩慢推進，故可認為豎直輕桿處于平衡狀態，分析其受力如圖4所示，據拉密定理有：

F′sin（180°-37°）=Mgsin（90°+37°）解得：

F′=Mg·tan37°=3Mg4=750N，據牛頓第三定律有：F′=F即為所求。

例3 在微型汽車的隨車工具中，有一種替代“液壓千斤頂”的簡單機械頂，其結構如圖5所示 ，AB、BC、CD、DA為四根相同的鋼管，A、B、C、D四點用鉸鏈相連接，BD為一螺栓，其螺母在D點外側，此頂在工作時，不斷擰緊D外的螺母，使BD間距離變小，從而使AC距離增大，以達到頂起汽車一個輪子的目的，若某微型汽車重1.2t，在修理汽車的一個輪胎時，將汽車的一個輪子頂起，在輪子剛好離地時，AB、BC成120°角，求此時鋼管AB和螺栓BD作用力各約為多大？（g取10m/s2）

解析 因為只將汽車的一個輪子頂離地面，故此簡單機械頂只承受汽車的1/4重力，即F=3 000N，分析A點受力如圖6所示。由拉密定理有：Fsin60°=TABsin150°得：

TAB=1 0003N。

分析B點受力如圖7所示，由拉密定理有：TABsin120°=TBDsin120°得：TBD=TAB=1 0003N。

3 應用于解答“滾珠式力放大器”問題

例4 有一種機械裝置叫做“滾珠式力放大器”，其原理如圖8所示 ，斜面A可以在水平面上滑動，斜面B以及物塊C都是被固定的，它們均由鋼材制成，鋼珠D置于ABC之間。當用水平力F推斜面A時，鋼珠D對物塊C的擠壓力F就會大于F，故稱為“滾珠式力放大器”。如果斜面A、B的傾角分別為a、β，不計一切摩擦力以及鋼珠自身的重力，求這一裝置的力放大倍數（即F′與F之比）。

解析 分析斜面A的受力如圖9所示。由拉密定理有：Fsin（180°-α）=F′Nsin90°，解得：

F′N=Fsinα。又分析鋼珠D受力如圖10所示，由拉密定理有：

F′sin［90°-（α-β）］=F′Nsin［180°-β］，得：

F′=cos(α-β)sinβF′N=cos(α-β)sinαsinβF，

故有：F′F=cos（α-β）sinαsinβ=cotαcotβ+1。

4 應用于解答拔樁機械裝置問題

例5 如圖11所示為，當用大小為F且方向豎直向下的作用力拉圖中E點時，繩CE被水平拉直，繩CA被拉為豎直，繩DE與水平方向的夾角為α，繩BC與豎直方向的夾角為β，求繩CA拔樁的作用力的大小。



依題意，分析E點受力如圖12所示，據拉密定理有：Tsin（90°+α）=Fsin（180°-α），解得

T=cosasinαF=Fcotα。

分析C點受力如圖13所示，據拉密定理有：F′sin(90°+β)=T′sin（180°-β)，解得F′=cosβsinβT′。

又因為T=T′，故F′=F·cotαcotβ。

(欄目編輯黃懋恩)

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。