數學教學要培養學生的基本數學思維

學生數學學習的過程是其數學思維初步形成與發展的過程。新課標提出要培養學生的探究學習能力，而探究過程是充滿著思維活動的，因此數學教學要培育學生的基本數學思維，讓學生能數學地理解問題，即具有良好的數學思考方式。數學思考方式包括抽象化、運用數學符號、建立模型、邏輯分析、推理計算、從數據進行推斷、優化以及善于應用計算機進行數學實驗等。根據數學教學實踐，在中小學數學教育教學中，應著重培育學生的建構思維、抽象思維、化歸思維和拓撲思維等。

學生的數學認知過程是一個建構過程。所以，在數學認知方面，需要培養建構思維。建構思維是指建構數學概念、定理、公式和命題以及蘊涵在其中的思想、方法的思維。建構思維包括外源建構思維、辯證建構思維和內源建構思維。外源建構思維是指通過有意義的學習對有標準的基本知識與基本技能的建構，建構的結果應符合基本知識與基本技能的外在的法則標準。辯證建構思維是指通過觀察、實驗、歸納和類比以及想象等合情推理活動對已有數學概念與命題的再發現，再發現體現了主體內在的發現與外在的(已經存在的)數學概念與命題的和諧一致。內源建構思維則是指主體通過合情推理、邏輯推理、統計分析以及數學實驗對數學概念與命題的發現，或通過歸納總結、概括綜合、特殊化以及一般化等思維活動形成帶有個性特征的數學思想、方法。正確理解和記憶數學知識的過程中需要外源建構思維；再發現的數學學習活動與辯證建構思維息息相關；數學思想、方法的學習以及個別學生對數學概念與命題的建構則體現了學生的內源建構活動。

概念的學習是數學學習的基石。數學概念是抽象思維的產物，因此，數學概念的認知過程也是培育抽象思維的過程。在數學概念的學習中，要讓學生形成弱抽象(概念外延具有邏輯包含關系)、強抽象(概念內涵具有邏輯包含關系)以及廣義抽象思維(概念定義間具有邏輯相聯關系)。形成這三種思維是數學概念學習的需要，是澄清錯誤認知的需要。如果認為數學中的概念越抽象，便和實際事物相距越遠，以致愈加脫離現實生活，這是一個誤解。這種誤解的產生是因為只見到了數學中的“弱抽象”一面，而忽視了數學中還有“強抽象”過程。雖然具體和抽象是截然相反的，但在概念中，具體和抽象又是相對的。數學之所以能成為一切科學的共同工具，正因為數學模式往往是弱抽象與強抽象過程交融作用的產物，有時在模式的構造過程中還要用到廣義抽象的方法。作為數學思維成果或對象的抽象物(模式)，一經構造出來就具有形式客觀性和獨立存在性，從而又可以成為后續的進一步抽象的數學原型。

數學中許多計算方法之靈巧，證明方法之美妙，究其思路，往往是利用了各種轉化，轉化問題的思維就是化歸思維。數學學習離不開解題，解題過程主要是化歸的過程，因此，在解題過程中要培育學生的化歸思維。解題過程可用AC——B表示，A是要處理的數學問題，B是轉化成的數學問題，c則是轉化的方法及其依據。每個學習和探究數學的人，在其數學認知結構中，都存在著一個已知和己解問題的網絡Y，稱為已解問題鏈。因此，化歸的目標，就是運用(尋找)適當的C屬于Y，將A向Y中轉化。對于中小學生，他們的已解問題鏈扎根于課本(公理、定理、公式、法則)，因此，對于中小學生來說，他們的解題，一般是千方百計向課本化歸，并最終求出解答。化歸的動力是A與B的差異，解題就是努力尋求能消除這種差異的c。例如，解二元一次方程組，同已經會解的一元一次方程對照，它多一個元，由此考慮解題時便找到了各種消元法。c的探索和發現體現了“變中有不變”的哲理，變是為了使不變的東西保留和外露，例如解方程的同解變形是形變解不變；恒等變形是形變值不變；全等變形(運動)是位置變而大小形狀都不變。化歸思維是一種重要的解題思維，在教學活動中，有意識地進行化歸思維訓練，有助于學生形成數學解題的思維模塊。

在數學教學活動中，還要適當培育拓撲思維。拓樸思維是指在命題系統中，總含有基本命題，對基本命題自身不再進行分析，基本命題在某狀況(時間、空間、范圍等)下成立。在數學學習的認識方面，公理化思想為拓撲思維的產物。例如，數學概念是數學知識中的基本知識，要讓學生認識到學習數學概念的重要性。在中小學教學中，數學科學視角下的嚴格數學定義有時需要淡化，但概念學習萬萬不可淡化。另外，既然基本命題都存在成立的條件，那么就應有意識地讓學生認識到任何數學知識的成立也是有條件的。例如，1+1=2就是有條件的，而不是絕對的，因為該算式是在10進制中才能成立。從基本命題出發，是數學建構理論所不可或缺的。培育拓樸思維要讓學生初步認識到以嚴謹著稱的數學知識并非絕對真理，這種認識的形成對促進他們獨立思考，提高創新意識大有益處。

培育學生數學思維要切忌將數學程式化，不要把靈活的思維訓練簡化為程式化步驟的模仿，也不要將訓練數學思維的數學學習內容作為機械記憶的材料。課堂教學要避免形式主義，培育數學思維，不是讓學生的活躍停留在有問有答或有爭議這樣的外在表現上，也許表面上課堂是安靜的，但學生的內部思維卻在高速地運轉，此時無聲勝有聲。

(責編 王學軍)