例說三視圖

新課程，新高考，新策略，同學(xué)們在備考復(fù)習(xí)中應(yīng)關(guān)注新的知識(shí)點(diǎn).三視圖是把空間物體反映在平面上的一種重要方法，在現(xiàn)代科技、工業(yè)生產(chǎn)中有著廣泛的應(yīng)用.在高中增設(shè)簡單組合體的三視圖內(nèi)容，旨在進(jìn)一步密切數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，提高大家的空間想象能力和幾何直觀表達(dá)能力.在備考復(fù)習(xí)中應(yīng)如何定位？這里談幾點(diǎn)看法，供同學(xué)們參考.

一、準(zhǔn)確還原

立體幾何考查基本的空間想象、推理論證、圖形語言、直觀表達(dá)和準(zhǔn)確計(jì)算，三視圖是在平面上描述幾何體的工具，同學(xué)們在復(fù)習(xí)中應(yīng)控制好難度，不宜涉及復(fù)雜的組合問題，熟用各種公式是最基本的要求.

例1（2007年高考廣東文科數(shù)學(xué)）已知某個(gè)幾何體的俯視圖是一個(gè)矩形（如圖1），正視圖（或稱主視圖）是一個(gè)底邊長為8，高為4的等腰三角形，側(cè)視圖（或稱左視圖）是一個(gè)底邊長為6，高為4的等腰三角形.（1）求該幾何體的體積V;（2）求該幾何體的側(cè)面積S.

解析 還原幾何體（如圖2），則（1）幾何體的體積為Ｖ＝ Ｓ矩形#8226;h= ×8×6×4=64；（2）前、后側(cè)面的高為h1= =5，左、右側(cè)面的高為h2= =4 ，所以幾何體的側(cè)面積為Ｓ=2#8226;( ×8×5+ ×6×4 )=40+24 .

例２（2007年高考海南文科數(shù)學(xué)）已知某個(gè)幾何體的三視圖（如圖3），根據(jù)標(biāo)出的尺寸（單位：cm），這個(gè)幾何體的體積是()

A. cm3 B.cm3

C. 2000cm3D.4000cm3

解析 還原幾何體（如圖4），則四棱錐體積Ｖ= ×20×20×20= ，故選B.

點(diǎn)評 高考中以三視圖還原幾何體為載體，結(jié)合面積和體積的計(jì)算進(jìn)行命題，體現(xiàn)三視圖在立體幾何中的基礎(chǔ)性，準(zhǔn)確還原幾何體是重點(diǎn)，也是難點(diǎn).雖然上例中只涉及到面積和體積的計(jì)算，但同學(xué)在備考中還應(yīng)考慮到立體幾何中的其它重要考點(diǎn)，充分發(fā)揮三視圖的載體功能，將立體幾何的重要知識(shí)點(diǎn)有機(jī)地結(jié)合在一起.

二、補(bǔ)形轉(zhuǎn)換

教材與考綱是高考命題的主要依據(jù)，三視圖考查特殊的視覺效果，把握特殊圖形的特殊性質(zhì)，往往是高考解題的關(guān)鍵，備考中要關(guān)注教材范例，學(xué)會(huì)將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)換為自己熟悉的知識(shí)加以解決.

例3 (江門市2007高三質(zhì)檢題)已知一個(gè)幾何體的三視圖是兩個(gè)相同的長方形和一個(gè)正方形（如圖5，單位：cm），則這個(gè)幾何體的表面積是，該幾何體的體積是.

解析 還原幾何體（如圖6），則

Ｓ截面= × ×

= cm2 ?圯Ｓ表=5+ + =9cm2，

Ｖ=Ｖ長方形- Ｖ長方形= Ｖ長方形= ×2= cm2 .

例4（江門市2007高三質(zhì)檢題）已知一個(gè)正方體及其外接球的主視圖（如圖7），若矩形的面積為 ，則球的表面積為（）

A.3?仔 B. 6 ?仔C. 9?仔D. 12?仔

解析 設(shè)正方體的棱長為a，則矩形的長為 a，寬為a，由 a2= ?圯a=1，所以，外接球半徑R= ?圯Ｓ球=4?仔（ ）2=3?仔，故選A.

點(diǎn)評 一方面，通過幾何體的還原，可以感受到特殊幾何圖形的特殊視覺效果，感悟數(shù)學(xué)中的美；另一方面，通過“補(bǔ)形轉(zhuǎn)換”，延伸到長方體的補(bǔ)形求差及正方體與外接球的相互關(guān)系，都是立體幾何的一些重要考點(diǎn)，不容勿視.

三、識(shí)別誤區(qū)

關(guān)注思維誤區(qū)是減小考試失誤的有效方法，有人為自己設(shè)置“錯(cuò)題集”，目的就是要警告自己不要在同一個(gè)地方跌倒！

例5（惠州市2007聯(lián)考試題）已知正三棱柱及其左視圖（如圖8），根據(jù)所標(biāo)尺寸求這個(gè)正三棱錐的表面積和體積.

解析 底面邊長a= ÷ =2

?圯 S=6×2+2× ×22=12+2 ，V= ×22×2=2 .

例6 （江門市2007統(tǒng)考試題）已知一個(gè)正方體，過它的三個(gè)頂點(diǎn)作截面將正方體截去一個(gè)三棱錐（如圖9），則剩余部分幾何體的左視圖為（ ）

解析 如圖10，應(yīng)選C.

點(diǎn)評 三視圖中的常見誤區(qū)：①“高”與“邊長”的混淆;②輪廓線投影時(shí)“虛”“實(shí)”不分.即使是相同的物體，當(dāng)放置的位置不同時(shí)，所畫的三視圖就有可能不同，要仔細(xì)觀察.

四、挖掘規(guī)律

從個(gè)例總結(jié)出一般性的結(jié)論，再運(yùn)用于解決同類問題，往往能使我們的學(xué)習(xí)做到事半功倍，需要同學(xué)們善于總結(jié)和歸納.

例7（韶關(guān)市2007模擬考試題）已知一個(gè)幾何體由若干個(gè)單位正方體組成，它的主視圖和俯視圖相同（如圖11），則這個(gè)幾何體的體積的最大值為（）

A.12 B.13 C.14D.15

解析 利用空間想象，將左視圖擴(kuò)大化，體積最大值為3×3+2×2+1×1=14，故選C.

例8（江門市2007高三質(zhì)檢題）已知由球和圓柱組成幾何體的三視圖（如圖12），則球與圓柱的體積之比為（）

A.1∶2 B.2∶3 C.1∶3D.3∶4

解析 設(shè)球的半徑為R，則V球= ?仔R3，V柱=?仔R2#8226;2R=2?仔R3，體積之比2∶3，故選B.

點(diǎn)評 通過觀察，尋求一般性的結(jié)論：若主視圖和俯視圖各列對應(yīng)的正方形的個(gè)數(shù)分別為a、b、c和d、e、f，則體積的最大值為：ad+be+cf，體積的最小值為：a+b+c+d+e+f-3.另外，應(yīng)該牢記：在等底等高的的情況下

V錐∶V球∶V柱=1∶2∶3的一般性結(jié)論.

五、延伸拓展

三視圖的學(xué)習(xí)中同樣蘊(yùn)含著各種數(shù)學(xué)思想，如形數(shù)結(jié)合、轉(zhuǎn)換化歸等，學(xué)習(xí)中不僅要注意立體幾何中各知識(shí)點(diǎn)之間的橫向聯(lián)系，也要注意立體幾何與三角、方程、函數(shù)等知識(shí)之間的聯(lián)系，培養(yǎng)自己綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)的能力.

例9（汕頭市2007高三質(zhì)檢題）已知一個(gè)幾何體的三視圖是三個(gè)全等的等腰直角三角形（如圖13），（1）求出它的外接球半徑；（2）求出它的內(nèi)切球半徑.

解析 （1）還原幾何體（如圖14），將三棱錐補(bǔ)形為正方體，其實(shí)質(zhì)就是棱長為2的正方體.它的外接球半徑R= ；

（2）將三棱錐分解為四個(gè)以各面為底，以內(nèi)切球半徑為高的三棱錐，容易得到：

［3× ×2×2+ ×（2 ）2］#8226;r= × ×2×2×2?圯r=1- .

例10（韶關(guān)市2007高三質(zhì)檢題）已知一個(gè)圓錐的主視圖為等邊三角形，則這個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是（ ）

A.圓 B.半圓

C.三分之一個(gè)圓D.四分之一個(gè)圓

解析 設(shè)圓錐的底面半徑為r，則母線長為2r，所以，側(cè)面展開圖為半徑為2r，弧長為2?仔r的扇形，故圓心角為?仔，選B.

點(diǎn)評 幾何體的“分解”“等積法”的應(yīng)用，借助方程求解.從圓錐的三視圖到側(cè)面展開圖，不僅考查空間想象，也拓展到其它知識(shí)，應(yīng)高度重視.三視圖的備考策略是：發(fā)揮載體功能，緊扣大綱考點(diǎn)，控制教學(xué)難度，培養(yǎng)各種能力.

責(zé)任編校 徐國堅(jiān)

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。