熏育極限思想 提高思維質量

極限思想是研究變量在無限變化中的變化趨勢的思想，是用無限逼近的方式從有限認識無限，用不變認識變，用近似認識精確的辯證思想．

數的圖像，雙曲線的漸近線，直線和平面是無限延展的，球的體積和表面積的推導，數學歸納法的證題思想，概率分布列，統計原理，導數的幾何意義，函數和數列極限的定義，函數極值的定義等，無不包含著對極限思想的滲透和運用．

在實際教學過程中，大家往往只把注意力放在求某一個式子的極限值或用定義證明極限等問題上，而對極限思想的解題功能尚未引起足夠的重視，更談不上有目的地對學生進行滲透和熏育．按照波利亞的觀點，發現是一種技巧，發現的能力可以通過靈活生動的教學加以培養，從而使學生自己學會發現的技巧并付諸實施．與此類似，我們的高中數學教學可以而且應當從已有的典型題目中顯化極限思想的解題功能，給學生以有意識的思想熏育，以便在以后類似的情況下，對學生起到啟發與引導作用．事實上，數學解題教學是熏育極限思想的良好載體，更能凸顯極限思想的獨特性和實用性．將極限思想和方法滲透、融合于解題教學中，可以實現數學內容與思想方法的有機整合，使數學問題的解決簡捷明快，新穎別致，從而大大節省解題力量，開發解題智慧，優化解題過程，拓寬思維渠道，提高思維質量．

1巧尋極限位置節省解題力量

圖1分析：本題的常規解法是根據條件探求p、q、a三者的數量關系，過程繁瑣，計算復雜．若能充分注意到題目的特點，即點P、Q的運動性和1p+1q值的確定性，就可以充分運用運動變化的觀點，借助于極限思想，巧取PQ的極限位置進行考慮：將直線PQ繞點F順時針方向旋轉到與y軸重合，此時Q與O重合，點P運動到無窮遠處，雖不能再稱它為拋物線的弦了，但可看作弦的一種極限情形，因為QF=p=OF=14a，而PF=q→+x，所以1p+1q→4a，故選擇(C)．

評注：此例針對客觀題的特點，著力尋求點P、Q的極限位置，巧妙地解決了問題，費時不多，效果卻相當明顯，體現出思維的靈活性和敏捷性，凸現了試題的選拔功能．極限思想的有效運用，符合“少算多思，一望而選”的命題思想和原則．實際上，多數試題蘊含了“條件預示可知并啟發解題手段，結論預告須知并引導解題方向”的基本思想．此題正是注意到條件中“點P、Q的運動性”與結論“1p+1q值的確定性”，才能大膽運用極限思想．另外，考慮另一種極限情形：拋物線的通徑，也可迅速求解．極限位置的尋求大大節省了解題力量，達到了少算，甚至不算的境地．另外，此例對橢圓有類似的結果．

評注：無限與有限是對立統一的，極限思想的應用實現了對不等量的放縮．在復習和備考中要有意識地滲透和關注極限思想的運用，進一步培養學生的數學素養，著力提高個體理性思維的廣度和深度，提高進一步學習的潛能．

5結束語

在客觀題的求解和主觀題思路的探尋過程中，大膽利用極限思想，把問題放置于極限狀態，既活躍了解題者的思維，又提高了學生分析、解決問題的能力，進而使數學問題的解決簡捷明快，新穎別致，有利于節省解題力量，開發解題智慧，優化解題過程，拓寬思維渠道，提高思維質量，讓學生真切體會“少算多思，能力立意”、“提高觀點，降低難度，減輕負擔”、“既要會算，也要會少算，更要會不算”的含義．極限思想的解題功能是巨大的，只要我們在教學中充分重視極限思想的滲透和孕育，有目的地培養學生運用極限思想解題的意識，就一定能從一個全新的角度提升學生的數學素養，培養學生的理性精神．我們強調極限思想的教育價值，研究其解題功能，終極目的在于熏育學生的極限思想，開發其解題智慧，提高思維質量，以便將這種數學思想方法應用于學生走出校門后的社會實踐及生活實際．

參考資料

1周述岐．數學思想和數學哲學［M］·北京：中國人民大學出版社，1993

2茍玉德，董玉武．滲透極限思想優化解題過程［J］．數學通報，2006（3）

3吳漢榮．強化估算意識，提高創新能力［J］．數學教學通訊（重慶），2001（10）

4陳志偉．立足教材，探討極限思想［J］．中學數學教學參考(高中)，2006（11）

5黃益全．估算在高中數學解題中的應用［J］．中學數學教學參考(高中)，2007（7）

6劉云章．極限法的哲學思考［J］．中學數學教學參考，2002（7）

7孔凡哲，于明華．破解高考數列題的數學思想方法［J］．數學學習與研究(高中)，2006（5）

“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文”