試論數(shù)學(xué)類比推理方法的“源”與“流”

在人類悠久的發(fā)展史上，類比推理方法(注：以下簡稱為“類推法”)被譽為科學(xué)活動中“偉大的引路人”、“人類認(rèn)知的核心”．而通過數(shù)學(xué)類推法可發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)知識、尋求到解決數(shù)學(xué)問題的方法和途徑；亦可培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維、創(chuàng)造性思維及合情推理能力；與之相對應(yīng)的，2003年4月出版的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(實驗)也把培養(yǎng)學(xué)生的類比推理能力作為主要的能力培養(yǎng)目標(biāo)之一，并且近年來高考試卷中也出現(xiàn)了類比思維的問題．

然而類推法作為一種被廣泛應(yīng)用的解題方法，卻常常困擾著學(xué)生和教師．體現(xiàn)在有關(guān)類推法的學(xué)術(shù)研究上，“解題研究沒有上升為理論，大多是用現(xiàn)成的例子說明現(xiàn)成的觀點，或用現(xiàn)成的觀點說明現(xiàn)成的例子．整個研究工作依然陷在低層次的、沒有新突破的誤區(qū)之中．這也是整個方法研究的現(xiàn)狀的結(jié)果．”為此，筆者在查閱相關(guān)文獻后，將對數(shù)學(xué)類推法的“源”與“流”進行闡述，并提出幾點相關(guān)的后續(xù)研究計劃．

1數(shù)學(xué)類推法的“源”

1．1數(shù)學(xué)思想方法與類比思想方法

1．1．1數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法

數(shù)學(xué)思想是指現(xiàn)實世界的空間形式、數(shù)量關(guān)系及其模式結(jié)構(gòu)反映在人的意識中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果．而數(shù)學(xué)方法是在有關(guān)數(shù)學(xué)活動中積累起來的數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)問題解決得以完成的途徑和手段．

數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法既有區(qū)別又有聯(lián)系，區(qū)別表現(xiàn)在于：數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的表現(xiàn)形式和得以實現(xiàn)的手段，而數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)方法的靈魂，它指導(dǎo)著知識和方法的運用：同時，數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法又互為表里，在數(shù)學(xué)活動中的表現(xiàn)形態(tài)不具備明確的界限，故通常將這兩個概念統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)思想方法．

1．1．2類推思想與類推法

顯而易見，類推思想是一種數(shù)學(xué)思想，而類推法則是一種數(shù)學(xué)方法．于是它們之間就存在如上所述的相互關(guān)系．簡而言之，類推思想是用類比推理的策略解決問題，反映了類推法的實質(zhì)，是指導(dǎo)類推法的靈魂．反之，類推法是采用類比推理的方法去執(zhí)行這種策略的具體手段．如上所述，我們通常把類推思想與類推法統(tǒng)稱為類比思想方法．

類比思想方法作為一種數(shù)學(xué)思想方法，具有其自身獨特的顯著特征，主要表現(xiàn)在：

(1) 或然性

類比推理是不同于演繹，也不同于歸納的一種獨立的推理形式．波利亞提出，類比推理是歸納推理的基礎(chǔ)．而演繹推理則是類比推理進一步發(fā)展的結(jié)果．類比推理由已知的相似點推出未知的可能的相似點，其思維過程是從特殊過渡到特殊．由此可見，類比推理缺乏邏輯上的嚴(yán)格性和充足的理由，而帶有假定和猜測的色彩．因此，它所推出的結(jié)論就帶有或然性，可能是真的，也可能是假的．

(2) 相似性

無論在我們的學(xué)習(xí)與生活中，還是在各個學(xué)科領(lǐng)域中，甚至在自然界中都處處充滿著相似性，存在著大量的類比．正如列寧所說：“自然界的統(tǒng)一性顯示在關(guān)于各種自然現(xiàn)象領(lǐng)域的微分方程式的驚人的類似中”．萊布尼茨(G．w．Leibniz)也指出：“我們必須使自己習(xí)慣于進行區(qū)分，即對兩個或兩個以上極其相似的事物，立即找出它們之間的所有差別．”“我們必須使自己習(xí)慣于進行類比，即對兩個或兩個以上極其不同的事物，找山它們的相似點”．

(3) 探索性和預(yù)測性

在演繹、歸納、類比這三種思想方法中，類比思想方法推出的結(jié)論可靠程度也許最低，但往往卻是最富于創(chuàng)造性的思想方法．因為運用類比思想方法的時候，研究對象的范圍內(nèi)沒有相應(yīng)的一般原理，因而不受現(xiàn)成的原理的約束．相反，它可以提出種種可能的新原理，供人們?nèi)ヌ剿骱蜋z驗．同時，由于類比思想方法適用范圍廣，可以把看起來差別很大的兩類事物聯(lián)系起來，提出種種設(shè)想，這就大大有利于人們發(fā)揮思維的創(chuàng)造能力，獲得新的啟發(fā)、新的思想，從而發(fā)現(xiàn)新的原理．也正因為類比思想方法具有科學(xué)探索和科學(xué)預(yù)見性的特征，其在科學(xué)研究中顯得越來越重要．可見，類比思想方法正是由于其猜測和想象，才會探索和預(yù)見到更多的科學(xué)發(fā)現(xiàn)．

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，類推思想的滲透教學(xué)常蘊涵在類推法的解題教學(xué)之中，故以下內(nèi)容主要體現(xiàn)在類推法的研究領(lǐng)域上．

1．2類推法的界定

何為類推法?歸納起來有下面兩種理解．一種是從心理學(xué)的角度來講的，即類比推理是從兩個對象的某些相似性和一個對象的一個已知特性推出另一個對象也具有這種特性的推理過程．本文的類推法主要是采取邏輯學(xué)的角度來定義的，即類比推理是人的抽象邏輯思維的一種主要形式．從形式邏輯的角度來看，類比推理就是根據(jù)兩個(或兩類)對象在某些屬性上相同或相似，而且已知其中的一個(或一類)對象還具有其他特定屬性，從而推出另一個(或另一類)對象也具有該特定屬性為結(jié)論的推理．這種解決問題的方法即為類推法．它的邏輯形式可以表示為：對象A具有屬性a、b、c、d；對象B具有屬性a、b、c，所以對象B也具有屬性d．而類推法的結(jié)構(gòu)從簡單地講，主要由本象和類象(或者來源和目標(biāo))兩個部分組成．類推法的過程也可用下列框圖(如圖1)表示如下：

1．3類比推理能力發(fā)展的心理學(xué)基礎(chǔ)

因為類比推理在人們認(rèn)識和改造客觀世界的活動中具有重要意義，它能觸類旁通，啟發(fā)思考，不僅是解決日常生活中大量問題的基礎(chǔ)，而且是進行科學(xué)研究和發(fā)明創(chuàng)造的有力工具．所以探索其心理淵源成為許多心理學(xué)家研究的重要課題，并隨之對類比推理能力發(fā)展的機制提出了不同的看法．

根據(jù)心理學(xué)家讓·皮亞杰(Jean Piaget)的結(jié)構(gòu)階段理論，把類比推理能力發(fā)展分為三個階段：“自我中心”階段，試誤階段，完全形成階段．他認(rèn)為類比推理能力發(fā)展是分階段的“全或無”式進行的，這也與其認(rèn)知發(fā)展理論相一致．

心理學(xué)家斯騰伯格(Sternberg)的信息加工理論認(rèn)為類比推理是一個信息加工過程，由“編碼”、“推斷”、“映射”、“應(yīng)用”、“調(diào)整”、“反應(yīng)”等六種認(rèn)知成分來完成；類比推理能力發(fā)展的差異是由這六種認(rèn)知成分運用的差異造成的．其中斯騰伯格十分重視聯(lián)想的作用，實質(zhì)是知識經(jīng)驗的作用，也就是認(rèn)為只要具有足夠的知識經(jīng)驗，兒童就能進行類比推理．

而心理學(xué)家吉特納(Gentner)的結(jié)構(gòu)映射理論是基于問題類比推理而不是經(jīng)典類比推理，因此，在一定程度上講結(jié)構(gòu)映射理論更適合解釋高層次的類比推理．其實質(zhì)是尋找源問題到目標(biāo)問題的映射關(guān)系，主要是“關(guān)系轉(zhuǎn)換”，強調(diào)關(guān)系的系統(tǒng)性即關(guān)系結(jié)構(gòu)．吉特納與其合作者通過一系列研究在一定程度上證實了其理論．

1．4類推法在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用述評

類推法在科學(xué)發(fā)展史上占有極其重要地作劇．如魯班通過類比推理發(fā)明了鋸子：近代的庫侖定律的發(fā)現(xiàn)和驗證、麥克斯韋電磁場理論、牛頓的萬有引力理論以及元素周期表的建立與補充等等均是類比推理的產(chǎn)物．?dāng)?shù)學(xué)上的不少重大發(fā)現(xiàn)也是由類比推理或類比提供線索獲得的，例如著名數(shù)學(xué)家歐拉運用類比獲得非零自然數(shù)平方的倒數(shù)和為π26，而且用同樣的方法發(fā)現(xiàn)了萊布尼茲級數(shù)的和，即1-13+15-17+19+…+(-1)n+1·12n-1+…=π4．費馬大定理和費馬小定理的類比猜想，哥德巴赫猜想，非歐幾何的誕生與發(fā)展等等，無不閃爍著類推法的光輝．

對于類推法在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用，受到了許多數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家以及其他名人的盛贊．如美籍匈牙利數(shù)學(xué)家喬治·波利亞(G·Polya)在(數(shù)學(xué)與猜想}(第一卷)中，波利亞著重論述了數(shù)學(xué)中的“歸納與類比”．他運用一般化、特殊化和類比的協(xié)同，證明了畢達(dá)哥拉斯定理，并且指出：“不論是初等數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)，或者在任何別的學(xué)科中的發(fā)現(xiàn)，恐怕都不能沒有這些過程，特別是不能沒有類比”，波利亞認(rèn)為，類比推論看來是最普通的一種推論，并且可能是最主要的一種，……，類比在一切發(fā)現(xiàn)中都有作用，而且在某些發(fā)現(xiàn)中有它最大的作用．德國哲學(xué)家康德(Kant)說：“每當(dāng)理智缺乏可靠論證的思路時，類比這個方法往往能指引我們前進．”數(shù)學(xué)家拉普拉斯(Laplace)曾指出：“甚至在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類比．”物理學(xué)家開普勒(J·Kepler)也說過：“我們珍視類比勝于任何別的東西，它是我最可信賴的老師．它能揭示自然界的秘密，在幾何中它們應(yīng)該是最不容忽視的”．彼如此類的贊譽之詞不絕于耳．

2數(shù)學(xué)類推法的“流”

筆者以中國期刊網(wǎng)中有關(guān)類比推理的文章及相關(guān)的書籍、雜志等為文獻源，并對其進行了系統(tǒng)研究后，現(xiàn)整理并概述如下：

2．1類推法的分類

文［10］指出，根據(jù)類比的對象和方式不同，就會有不同的分類．一般來說，現(xiàn)在我們主要是以不同的關(guān)系為緣由來進行類比推理，從而劃分類比的不同類型．即：簡單并存類比、因果類比、對稱類比、協(xié)變類比以及綜合類比，并以邏輯思維的形式對以上的五種類型進行詳細(xì)的定義．文［11］從高考數(shù)學(xué)的角度認(rèn)為，從近幾年的高考試題來看，類比思想逐漸滲透于高考試題之中，出現(xiàn)了一種新的題型——“類比題”，并且從平行類比的角度把類推法分成概念類比、結(jié)構(gòu)類比、解法類比以及性質(zhì)類比等形式．而文［12］則認(rèn)為，高考中的類比推理題的類型可分為，特殊向一般類比、抽象向具體類比、低維向高維類比、平行類比以及方法類比等形式；另外，文［3］從知識遷移的角度把類推法分為，數(shù)學(xué)與其他學(xué)科類比遷移、數(shù)學(xué)知識類比遷移、數(shù)式與圖形類比遷移、結(jié)論上類比遷移以及方法上類比遷移等形式．綜上所述，筆者認(rèn)為，類比的出發(fā)點是對象之間的相似性，而相似對象又具有多種多樣的屬性，在這些屬性之間又有這樣和那樣的關(guān)系，而人們對這些關(guān)系的認(rèn)識過程，是從簡單到復(fù)雜的過程．隨著對這些關(guān)系認(rèn)識的不斷深化，人們所運用的類比方法也就出現(xiàn)了不同的類型．

2．2類推法的功能

文［14］指出，類比作為一種方法，其主要方面不僅是邏輯性，嚴(yán)格性和確定性，而是創(chuàng)造性，靈活性和猜側(cè)性．正是這些特點，使類比推理可以開闊思路，啟迪思維，起到由此及彼、由表及里、舉一反三以及觸類旁通的作用．擅長于類比推理是進行創(chuàng)造性思維的必要條件；文［15］認(rèn)為，類比是學(xué)習(xí)知識、系統(tǒng)地掌握和鞏固知識的有效方法．類比能啟發(fā)學(xué)生的解題思路，是解決問題的途徑和方法．類比能激發(fā)學(xué)生參與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的興趣等；而文［16］認(rèn)為，類比推理作為一種思維過程，是一種開放性的思維過程．它為學(xué)生提供了一處非常開闊而且多彩的思維境界．按事物發(fā)展的階段進行層次性類比，有助于我們加深對事物發(fā)展一般規(guī)律的認(rèn)識，開拓知識體系．學(xué)習(xí)類比方法可以使我們擺脫在學(xué)習(xí)中完全受命于人(課本、教師)的被動學(xué)習(xí)方式；文［17］則強調(diào)，波利亞在論及類比法時，認(rèn)為類比推理可以在三個方面發(fā)揮作用：

(1) 可以提出新問題和獲得新發(fā)現(xiàn)；

(2) 可以在求解問題中得到應(yīng)用；

(3) 可以用來對猜測進行檢驗．

筆者則認(rèn)為，正如上面所述，由于類推法在數(shù)學(xué)發(fā)展上所起的巨大的推動作用已成共識，所以在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透并合理運用類比思想方法也已成為大勢所趨．類推法常是建立在學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)之上的，它不僅能使學(xué)生強烈地感受到數(shù)學(xué)的美妙以及類推法的神奇，而且更能夠使學(xué)生激發(fā)起探索的意識和創(chuàng)新的欲望．具體而言，其功能可統(tǒng)一以下兩點：一是從思維角度而言，類推法可培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力和創(chuàng)造性思維能力；二是從認(rèn)知角度而言，學(xué)生通過類推法解題，能夠培養(yǎng)自主探究、自我建構(gòu)的認(rèn)知能力，并且在直覺感知的基礎(chǔ)上，逐步完善和建構(gòu)合理、有效的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)．

2．3類推法的負(fù)效應(yīng)

文［18］指出，類比推理的邏輯根據(jù)是不充分的，帶有或然性，不能作為一種嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法，并說明了以下的幾個誤區(qū)，即類比時概念的“先入為主”、類比時解法的“機械照搬”、類比時思路的“心理定勢”、類比時思維“相似塊”的紊亂以及類比時模式的以“表”掩“質(zhì)”；文［19］則認(rèn)為，應(yīng)用類比推理應(yīng)當(dāng)注意：只有本質(zhì)相同或相似的事物才能進行類比．如果把僅僅形式上相似而本質(zhì)上都不相同的事物不分青紅皂白地濫用類比，就會造成錯誤．在數(shù)學(xué)教學(xué)中要注意防止形式主義的類比，其方法主要是使學(xué)生對于符號所表示的內(nèi)容做到深刻理解．而文［20］也指出，數(shù)學(xué)解題中常常從簡單問題入手發(fā)現(xiàn)解題思路，然后通過對相似問題的條件、結(jié)構(gòu)、特征進行分析、直覺類比相似的思維模式，完成對復(fù)雜問題的解答．但是在解決問題時，往往由于學(xué)生誤將直覺類比理解為簡單模仿，致使解題陷入誤區(qū)．在此筆者認(rèn)為，唯物辯證法告訴我們，任何事物都有其積極的一面，也有其消極的一面．任何物質(zhì)也都有其差異性，用類推方法推理獲得的結(jié)論很可能正是兩個對象的差異點而陷入錯誤．所以類比推理不能作為一種嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法，即類比推理不能代替證明．歷史上，數(shù)學(xué)家費馬曾根據(jù)類推法提出費馬數(shù)的猜想，但其結(jié)果卻是錯誤的．類似問題不勝枚舉．可見在數(shù)學(xué)思維中，有時也正是這種局限性對學(xué)生學(xué)習(xí)新知、解決新問題產(chǎn)生消極性的干擾作用，對此應(yīng)充分認(rèn)識并加以提防．

面對新課程改革中關(guān)于加強培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識的要求，面對教材、競賽與高考等方面類比思維的日益滲透與重視，面對有關(guān)類推法在理論上研究的薄弱，在對教師與學(xué)生就有關(guān)類推法問題進行充分調(diào)查的基礎(chǔ)上，我們計劃在以下方面做進一步的研究與探討，以彌補類推法在理論上的一些缺陷．即在用類推法解題的原則、策略和分類，類推法與模式識別策略的關(guān)系，類推法的理論基礎(chǔ)，類推法與數(shù)學(xué)美的辯證關(guān)系等方面做較深入的研究．

理論缺少不了實踐的支持，本研究為了進一步了解和發(fā)揮在學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)中類比思想方法的作用，我們設(shè)計在所在學(xué)校的兩個高二平行班做進一步的對比實驗研究．具體步驟計劃如下：實驗研究的設(shè)計、方法與過程，研究的結(jié)果分析，研究結(jié)果的總結(jié)與思考．并在此基礎(chǔ)上對類推法的作用以及學(xué)生類比思維的培養(yǎng)等方面進行進一步的研究．

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