讓探索成為自覺行為

目前，筆者遇到這樣一件事，一位高三的同學拿著一道高考數學模擬題來找我，問為什么他做的答案與參考書上不一樣，是他錯了還是參考書上的答案錯了，我接過來仔細一看，原來是一道解析幾何題（見變式2與生（7）解法）．這位同學是用橢圓參數方程求解的，但是對參數的幾何意義理解不甚明了，結果導致了錯誤．事后，我把這位同學的解法給另幾個高三同學看，也存在同樣的問題．由此促使我思考：為什么這么多的同學都會出現同樣的問題，反思自己以前的教學，查找各種出版社的教案集，依據新課程的理念，重新設計了橢圓參數方程的教學，取得了較好的效果．現提出，以求拋磚引玉．

1 激發興趣，生探索之根

孔子說：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者”，可見興趣在數學學習中的重要性．通過恰當的問題復習舊知識可使學生迅速進入狀態，積極思考，激發興趣，為新知識的學習做好必要的知識上的準備．

師：請看幻燈片上的問題，思考可用什么方法解答．

練習：在圓x²+y²=12上求點P，使點P到直線l:x-y+8=0距離最小．

生（1）： 用數形結合法，由圖1知，其最小距離為圓心到直線距離與圓半徑的差 ．

生（2）：平行移動直線l:x-y+8=0與圓

x²+y²=12相切，最初相切的直線與直線l的距離，就是所求的最小距離．

生（3）：利用圓的參數方程 x=23cosθ

y=23sinθ求解．

師：從剛才各位同學的解法中，你有什么感想？

生（4）：數形結合法最簡單，生（2）方法比較復雜．

2 創設疑問情境，萌探索之芽

“學啟于思，思啟于疑”，學生積極的思維往往是以對問題的質疑開始，又在解決問題的過程中得到發展．因此，教學中要依據教材內容的特點，在新舊知識的銜接上創設質疑情境，使學生由被動接受邁向主動探索．

師：剛才這道題，大家均能積極思考，找到了解決問題的多種方法，并分析了各種方法的優劣．現在我將此題恰當地變動一下，看哪一位同學能繼續引領大家走向成功的彼岸．

變式1：在橢圓 3x²+y²=12上找一點P，使點P到直線l:x-y+8=0的距離最小．

生（2）：可以像剛才一樣，移動直線l:x-y+8=0與橢圓3x²+y²=12相切，最初與橢圓相切的直線與直線l之間的距離就是所求的最小距離．

生（5）：這樣運算比較復雜，但剛才最簡單的數形結合法又不能用了，要是橢圓也有參數方程可能會簡單一點．

師：對，請大家回憶一下圓的參數方程的相關概念，看能否找到求橢圓的參數方程的方法．

3 聯想辨析——開探索之花

世界充滿著聯系，也充滿著矛盾．已知與未知、現實與需求、正確與錯誤的聯系與交替不時造成學生認知沖突，教學中教師可利用和制造這些矛盾沖突進行聯想辨析，把學生帶入發現問題并解決問題的探索性學習活動中．

師：很對，那么參數θ又有何幾何意義呢？

生5：設M（acosθ，bsinθ)為橢圓上任一點，則θ是以x軸的正半軸為始邊，OM為終邊的角．

師：你是怎樣想到的？

生（5）：我是類比圓的參數方程得到的．

師：果真如此嗎？有無不同意見？

生眾：深思，有的動手在草稿上畫圖驗證．

生（6）：畫出圖3，感覺不對．

師：那么橢圓參數方程中參數的幾何意義到底是什么呢？請大家先觀察一下橢圓的參數方程x=acosθ (1)

（2）則是x²+y²=b2的參數方程x=bcosθ

y=bsinθ中的第二個式子．

師：對，這樣看來，（1）可看成圓x²+y²=a2上一點的橫坐標，（2）可看成是圓x²+y²=b2上一點的縱坐標，換言之，點（acosθ，bsinθ）的橫坐標與圓x²+y²=a2上一點的橫坐標相同，縱坐標又與圓x²+y²=b2上一點的縱坐標相同．由此，你能作出點M（acosθ，bsinθ)嗎？

圖3圖4生（3）：能，如圖4，在平面直角坐標系xOy中，以原點O為圓心，分別以a，b為半徑作兩個同心圓，過原點O作射線分別與兩個圓相交于A、B兩點，過點A作AN⊥Ox，垂足為N，過點B作BM⊥AN，垂足為M，則M點的橫坐標等于A點的橫坐標，M點的縱坐標等于B點的縱坐標，設∠xOA=θ，那么M點的坐標為M（acosθ，bsinθ)．

師：由此你知道橢圓參數方程x=acosθ

生（2）：如圖4，參數θ表示∠AOx．

師：經過剛才的探索之旅，我們知道橢圓參數方程中參數的幾何意義是∠AOx而不是∠MOx，那么這兩者之者有無關系呢？（又一次點燃了學生的求知欲望）

生（5）：有，如圖

4 體驗成功——結探索之果

每個人心中均有探索的欲望，教師在教學中如能創設一個適當的環境，讓學生經歷探索過程，體驗成功的愉悅，感受探索結果的應用價值，必將使學生開出“智慧之花”，結出“成功之果”．

師：經過剛才的探索，我們得到了橢圓的參數方程，明確了參數的幾何意義，下面我們看能不能應用它解決變式1．

|4cos(θ+60°)+8|2≥22，所以橢圓上點到直線的最短距離為22．

師：從中我們看到橢圓參數方程的坐標，它在某種情況下確實為我們的解題帶來很多方便，下面我們來看變式2（2007湖北高考模擬題）．

變式2：已知橢圓方程為3x²+y²=12，過原點且傾斜角分別為θ和π-θ (0＜θ≤π4)的兩條直線分別交橢圓于點A、C和B，D．則四邊形ABCD面積的最大值等于，此時θ=．

圖5生（7）：如圖5，根據橢圓的參數方程可設點A的坐標為xA=2cosφ

所以四邊形ABCD的面積S=4xA·yA=83sin2φ，因為 0＜φ≤π4，

師：有無不同意見？

生眾：沉思．

生（8）：不對，當點A的坐標為（2cosφ，23sinφ）時，根據橢圓參數方程中參數的幾何意義，角φ不是直線AC的傾斜角θ，φ與θ的關系為tanθ=ymxm=asinφbcosφ，即 tanθ=3tanφ，

因為 0＜φ≤π6，所以 0＜2φ≤π3．

由生（7）的結果S=4xA·yA=83sin2φ知Smax=83·32=12，此時θ=π4．

師：橢圓與圓一樣具有參數方程，應用參數方程在許多時候能給我們的解題帶來許多便利，但要特別注意橢圓的參數方程與圓的參數方程中參數幾何意義的不同，忽視這一點，將導致我們得到片面的，甚至錯誤的結論．下面請大家拿出草稿紙做課堂練習（略）．

5 教學反思

以往的教學流程往往是這樣：先提問或復習圓的參數方程及相關概念、作用，然后指出圓有參數方程，橢圓有無參數方程？今天我們主要解決這個問題，請大家看幻燈（出示新教材高中《數學》第二冊（上）第101頁例5），接下來與學生一起探索得出點M軌跡的參數方程為x=acosθ

y=bsinθ (1)，θ為參數，θ∈［0，2π)，消去參數θ，得橢圓的標準方程x²a2+y²b2=1 (2)，并指出方程（1）就是橢圓（2）的參數方程，最后舉例說明橢圓參數方程的應用．在這樣的學習過程中，課堂主要是以接受式學習為主，學生對橢圓參數方程的來源及參數意義的認識是很膚淺的，再加上后續應用環節中很少提及參數的幾何意義．由此我們就不難理解為什么有這么多的同學對變式2的錯誤解法看不出來的原因．新課程標準解讀中明確指出：學生的數學學習不能僅僅是掌握一些概念和技能，而必須經歷探索、猜想、推理等過程，把形成解決問題的一些基本策略作為一個重要的課程目標．弗賴登塔爾的“現實數學”思想也認為，數學來源于現實，必須應用于現實，數學教育如果脫離了那些豐富多彩而又復雜的材料，就將成為“無源之水，無本之木”．在本節課的教學中，教師從練習入手，通過變式創設了一個恰當問題情境，使學生現實地感受到探索出橢圓參數方程的必要性，然后在與圓的參數方程的類比猜想中，通過教師的主導作用幾經反復，終于自己探索出例5的主要內容，明確了橢圓參數方程及其參數的幾何意義，充分享受到探索后成功的愉悅．在隨后有針對性的變式2的練習中，進一步鞏固了橢圓參數方程及其幾何意義．這樣的教學有效地提高了學生探索與解決問題的能力，落實了教學目標．由此我想，為有效地配合、促進新課程理念的實施，防止學生走進題海戰術的死胡同，培養學生的探索與創新能力，在高考中是否可以考慮適當延長高考時間，增加猜想、探索、類比考查內容，從而讓學生走出為在規定時間內考出好成績而花大量時間進行應試訓練這種應試教育模式．

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”