善待錯解

有位英國的數學家曾說到：“錯誤在數學教學中和正確答案一樣重要，有時錯誤更為重要，因為它可以幫助我們了解數學的來龍去脈，并可以作為診斷工具幫助我們了解學生心里的想法”．

函數是高中數學的重要內容，也是高考考查的重點，學生對函數的基本概念、基本性質、基本方法往往耳熟能詳．然而在具體的求解過程中，看似一般的問題卻很容易出現差錯，其中重要的原因是概念模糊，或分析比較能力不夠，或只注重表面現象，或者在轉化過程中對某些字和詞的理解不深從而導致不等價轉化，學生往往會不由自主地步入錯誤大門而不知覺．

1 學生在解決函數問題時幾類常見錯誤

筆者在教學實踐中發現，學生在解決函數問題時常犯的錯誤有以下幾類：

1．1 概念模糊或不理解造成的錯誤

部分同學在學習過程中，不注重概念的理解，只在乎解題模式的積累，在沒有理解概念的內涵和外延的情況下就投入解題活動，這種做法為錯誤的發生留下了隱患，事實上，數學解題過程中概念是先行者，是根本，它常常為我們解題提供方向或指明道路．

剖析：韋達定理是建立在有實根的前提下，因此，必須考慮判別式，即考慮m的取值范圍．上述解法用韋達定理將α2+β2表示為m的函數后，忽視方程有實根這一條件而未對m的范圍加以限制，產生錯誤．

1．2 文字與題意理解造成的錯誤

波利亞在怎樣解題一書中給出了怎樣解題表，他認為解題活動的第一步，就是“弄清題意”，然后再制定解題計劃，部分學生在解題活動中忽視題意的審視，尤其是隱含條件的挖掘常常被忽視，致使解題“會而不對，對而不全”．

例3 已知函數y=ax+3x²+1對定義域內的任意x值都有-1≤f(x)≤4，求a的取值范圍．

剖析：錯解1中誤認為［-1，4］是函數y=ax+3x²+1的值域．錯解2中誤認為［-1，4］是此函數的值域的子集，其實由題意對定義域內的任意x值都有-1≤f(x)≤4即函數的最小值大于-1最大值小于4；因此函數y=ax+3x²+1的值域是［-1，4］的子集．

正確解：由已知可得，對任意實數x，有

剖析：兩法均沒有注意到方程 2x+m·2x+m+1=0有兩解這一條件，即方程t2+mt+m+1=0有兩個正實根，故不能簡單地用判別式法或利用重要不等式解．

正確解：（利用根的分布條件）

因為方程t2+mt+m+1=0有兩個正實根，

1．3 分析比較的能力不夠造成的錯誤

類比和聯想是數學問題解決的基本思想之一，恰當的類比和遷移可以讓我們將一個陌生的問題化為熟悉或者已經解決的問題，但是，錯誤的遷移卻是學生發生錯誤的根源之一，教學實踐中常常見到部分學生盲目套用一些所謂的解題模式，忽視了問題之間的區別和聯系，從而造成了解題錯誤．

剖析：以上兩種解法其實都是錯誤的，學生知道函數y=f(x)的反函數是y=f-1(x)，所以錯誤的根源也就在于把f(x)的反函數理解為f-1(x+1)，知識遷移發生錯誤，其實f(x+1)的反函數為f-1(x)-1，f-1(x+1)的反函數則是f(x)-1．

剖析：本題錯誤的原因是沒有掌握函數圖像的“伸展趨勢”，因為我們作圖不可能把整個函數圖像全部作出，也不可能十分精確，因此，必須注意函數圖像的“伸展趨勢”，本題中f(x)的圖像是拋物線的屬性，而g(x)圖像是指數函數的屬性，當x增大時，指數函數的圖像上升的速度顯然比拋物線快，故在上述圖像A，B外必有一點C是它們的交點．事實上C點為（4，4）（圖像略）．

正確：（C）．

1．4 學生自行建構造成的錯誤

建構主義認為，學生的學習是自行建構的過程，學生在學習數學的過程中，常常自行建構了一些錯誤的解題方法，在解題活動中，常常自行建構題目的已知條件，比如增加限定條件，盲目特殊化等，這些錯誤的建構也是解題錯誤發一的重要原因之一．

例7 已知f(x+1x)=x²+1x²，

求 f(x-1).

錯解：由已知得 f(x+1x)=(x+1x)2-2，

所以 f(x)=x²-2，

所以 f(x-1)=(x-1)2-2=x²-2x-1.

剖析：換元法是將未知換成已知的一種方法，變換不僅是記號，更重要的是同時變換了變量的范圍，在變換前x只要x≠0，變換后的x的范圍是x≤-2或x≥2，所以根本原因在使用直接拼配法或換元法求函數解析式時，沒有考慮定義域的變化致錯．

2 教學建議和策略

根據上述錯誤分析，筆者以為，要預防或杜絕學生的這些錯誤，在教學過程中應當注重以下幾點：

（1） 注重概念的教學

部分教師和學生對概念的教學不夠重視，對概念或定義匆匆帶過，花費大量的時間進行習題演練，這種舍本逐末的做法是導致學生解題錯誤的根源之一，必須得到改進．

（2） 注重知識的類比和聯系，培養較強的遷移能力

數學知識之間存在著緊密的聯系，不同的數學問題往往存在著千絲萬縷的聯系，教學過程中注重知識之間的類比和聯系，就能促進知識遷移能力的形成，善于將一個陌生的問題化歸為熟悉的已經解決了的問題，這對于杜絕學生的解題錯誤有著重要的意義．

（3） 注重錯誤分析，適當進行典型錯誤的收集

在平時教學中，教師應當積極引導學生進行典型錯誤的收集和分析，事實上，學生所犯的錯誤，是數學教學的珍貴資料，如果能夠對自己所犯的錯誤進行逐個糾正，重點突破，無疑是杜絕錯誤的一種有效方法．

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”