２００７年高考重慶卷（文）第２１題的拓廣

文（21）題：如圖1，傾斜角為α的直線經過拋物線y²=8x的焦點F，且與拋物線交于A、B兩點．

圖1（Ⅰ） 求拋物線的焦點F的坐標及準線l的方程；

（Ⅱ） 若α為銳角，作線段AB的垂直平分線m交x軸于點P，證明|FP|-|FP|cos2α為定值，并求此定值.

本題第（Ⅱ)問中，由條件可得 |FP|-|FP|cos2α=8（定值），又|FP|-|FP|cos2α可表示為2|FP|（1-cos2α），從而有|FP|（1-cos2α）=4（定值），對一般拋物線|FP|(1-cos2α)是否為定值，這個定值是多少呢？經筆者研究，得到如下結論．

性質1 設傾斜角為α的直線經過拋物線

y²=2px (p＞0)的焦點F，且與拋物線交于A、B兩點，若α為銳角，作線段AB的垂直平分線m交x軸于點P，則|FP|（1-cos2α）=p(定值）．

證明：設A（x1，y1)，B(x2，y2)，

直線AB的斜率為k=tanα，

則直線AB的方程為y=k(x-p2)．

將此式代入y²=2px得

性質3 設傾斜角為α的直線經過雙曲線x²a²-y²b2=1 (a＞b＞0)的焦點F，且與雙曲線交于A、B兩點．若α為銳角，作線段AB的垂直平分線m交x軸于點P，記雙曲線的離心率為e，焦點F到相應準線的距離為p，則|FP|（1-e2cos2α)=pe2（定值）．

仿性質2的證法，可得|FP|（1-e2cos2α)=pe2（定值），此略．

由上述討論，可得圓錐曲線的一個統一性質：

定理 設傾斜角為α的直線經過圓錐曲線的焦點F，且與圓錐曲線交于A、B兩點．若α為銳角，作線段AB的垂直平分線m交x軸于點P，記圓錐曲線的離心率為e，焦點F到相應準線的距離為p，則|FP|（1-e2cos2α)=pe2（定值）．

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