淺談高考數學試卷上的“任意”

“任意”作為一種特殊的數學語言，近年頻頻出現在高考試卷上，下面結合例題，從三個方面描述“任意”的含義．

1 “任意”決定了某一個對象的取值范圍

例1 （2007江蘇·15）在平面直角坐標系xoy中，已知△ABC的頂點A（-4，0）和C（4，0），頂點B在橢圓x²25+y²9=1上，則sinA+sinCsinB=．

評析：題中“頂點B在橢圓上”決定了頂點B的任意性，同時，由橢圓軌跡可以確定頂點B的取值范圍，因此在B的取值范圍內取一特殊點B（0，3），構成特殊△ABC，問題即解決．

總結：① 此類題型，首先明確對象，根據對象的任意性尋找范圍，之后在取值范圍內，取適當 值，解決問題．

② 有些題中，沒有明確的“任意”詞眼，需要同學仔細尋找，并確定對象的取值范圍．

例2 （2002北京·22）對于函數f(x)，若存在x0∈R，使得f(x0)=x0成立，則稱x0為f(x)的不動點，已知f(x)=ax²+(b+1)x+(b-1)，其中0＜a＜1，若f(x）恒有兩個不動點，并且y=f(x)圖像上A、B兩點的橫坐標是函數f(x)的兩個不動點，且A、B兩點關于直線y=kx+12a²+1對稱，求b的最小值．

評析：題中“直線y=kx+12a²+1”中的k∈R，即k任意，這在題中沒有直接說明，需要同學仔細審題．根據題意，當k=-1時，問題就被簡化．避免對參數k的討論．

解：由f(x)恒有兩個不動點，f(x)=x，則有

如圖6，此不等式組表示的區域為平面aOb上三條直線：2-b=0， a-3b+2=0， 4a-5b+2=0．

所圍成的△ABC的內部，其三個頂點分別為：

A（47，67），B（2，2），C（4，2）．z在這三點的值依次為167，6，8．所以z的取值范圍為（167，8）．

因為 0＜a＜1，當且僅當 2a=1a成立，即當a=22時，b取最小值，其b的最小值為-24．

2 “任意”反映了某一個實體所具有的性質（或

屬性）例3 （2007江蘇·7）若對于任意的實數x，有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3，則a2的值為．

評析：由于對任意的實數x，x3都有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3，反映了實體x3具有的二次項展開性質，因此此題應從二次項展開性質為切入點，切記不要針對x的任意性，而采取特殊法，將步入解題陷阱．

解：由x3=(x-2+2)3=C03(x-2)0·23+C13（x-2)·22+C23（x-2)2·2+C33（x-2)3，

知：a2=6.

例4 （2001廣東）設f(x)是定義在R上的偶函數，其圖像關于直線x=1對稱，求證：f(x)是周期函數．

證明：根據題意，f(x)關于直線x=1對稱，有 f(x)=f(1+1-x)，

故 f(x)是R上的周期函數．

總結：“任意”反映實體的性質，其實體可以是一個函數、一個方程、一個圖形，對于實體的性質，例如上題中，“任意”反映函數的奇偶性、周期性．

3 “任意”引起了全體對象的分類

例5 設集合M={0，1，2}，N={1，2，3，4，5}，從M到N的映射，f:M→N，使任意x∈M，都有x+f(x)+x·f(x)是奇數，這樣的不同映射的個數有個．

評析：由于x的任意，引起對集合M全體元素的分類．

解：當x=1時，N中任意一個元素作為像都可以滿足映射f，因此有5種對應．

當x=0或2時，N中只有是奇數的元素作為像才滿足映射f，因此有3×3種對應．

故不同映射的個數為5×3×3=45種．

下表是分析示意圖：

元素奇偶性示意圖x奇數奇數偶數偶數f(x)奇數偶數奇數偶數x·f(x)奇數偶數偶數偶數x+f(x)+x·f(x)奇數奇數奇數偶數例6 三角形的三個內角α、β、γ，對任意x、y、z，求證：x²+y²+z2≥2xy

例7 （1995全國）由1，2，3，4，5這五個數字，組成沒有重復數字的三位數，其中是偶數的三位數共有個．

評析：由于排列元素的順序具有任意性，五個數中有兩個偶數，因此需要分類考慮．

解：當2個在個位上的三位數有A24個，當4在個位上的三位數也有A24個，所以沒有重復數字的三位偶數共有2A24=24個．

總結：在一些集合、排列問題中，涉及元素的取法，根據集合元素的任意性，排列問題的隨機性，有時需要對元素進行分類，在一定程度上，“任意”間接反映了數學問題的本質．

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”