一道向量思考題的思考

(人教社A版選修2-1第95頁思考題2)已知空間中任意一點O和不共線的三點A、B、C滿足向量關系式OP=xOA+yOB+zOC(其中x+y+z=1)的點P與點A，B，C是否共面?

此題以及其他表述方式都可以總結成在各種資料上出現頻率最高的兩道題目：

題1 若對任意一點O且OP=xOA+yOB，則x+y=1是P、A、B三點共線的（）．

（A） 充分不必要條件 （B） 必要不充分條件

（C） 充要條件 （D） 既不必要也不充分

題2 若對任意一點O和不共線的三點A、B、C且OP=xOA+yOB+zOC，則x+y+1=1是P、A、B、C四點共面的（）．

（A） 充分不必要條件 （B） 必要不充分條件

（C） 充要條件 （D） 既不必要也不充分

對于題1，可證明如下：若P、A、B三點共線，根據共線定理知：AP=λAB (λ∈R），所以 OP-OA=

一直以來都覺得這個推證過程無懈可擊，沒有問題，所以就這么講也這么用的.手頭上的很多資料包括一些高三復習資料都有上述題目或類似的表述也是上述類似的結論，有的還當成固定結論要求學生記住.

對這組結論的質疑源于學生提出的兩個題組：

對于題3，由平面上三點A，B，C共線的充要條件為OB=a1OA+a200OC當且僅當a1+a200=1，所以 S200=200(a1+a200)2=100，故選（A）.學生提出為什么要加上括號里的注釋：該直線不過點O?是不是不加此注釋充要條件就不滿足了?

對于題4(1)法1：由A，B，C，G四點共面，又CG=1λOA+1λOB+1λOC，所以 3λ=1，λ=3.

圖1法2：由圖1可知，

法1：仿上述法1，由A，B，C，H四點共面及四點共面的充要條件得：3m=1，m=13.

法2：因為H是兩邊上的高的交點即為垂心，所以 AH·DC=0，于是 （OH-OA）·（OC-OB

用同樣的理論和方法的結果卻是不同，問題出在哪呢?從解答的過程我們感覺到題4的兩題雖然差不多，所使用的方法也近似，但(2)的法1明顯有問題，假設法1的結論對的話，結合4(1)的結論，則成了任意三角形的重心和垂心重合了.

通過上面的對題3，4的分析可以看出，問題出在“任意點O”，其位置并非是“平面上任意一點”或“空間中任意一點”.

對于題1，若選取的“任意點O”在直線AB上，點P也在直線AB上即O，A，B，P四點共線，令e為直線AB的單位方向向量，則OA=ae，OB=be，OP=pe(其中a，b，p∈R)，由OP=xOA+yOB即pe=xae+yce得p=ax+by.這是一個二元一次方程，有無數組解，所以x+y不一定等于1，但P、A、B三點共線，所以若對任意一點O且OP=xOA+yOB，則x+y=1是P、A、B三點共線的充分不必要條件，應選（A）.

若要使得上述題1中的條件為充要條件就應對點O有所限制，改為“任意點O（O不在直線AB上”或“向量OA，OB不共線”等類似的說法.

若要使得上述題2中的條件為充要條件就應對點O有所限制，改為“空間任意一點O（O不在平面ABC上）”或“向量OA，OB，OC不共面”等類似的說法.

前面證明過程的錯誤也是非常明顯了，其都是按點O不在直線AB上或不在平面ABC上處理的，沒有考慮點在直線上或在平面上的情形.

上述問題澄清以后，題3，4的問題也變的明確了，題3中加上注釋就是為了防止a1+a200≠1的情形發生;題4(1)的證明沒有大問題，但其中還是把點O看成是不在平面ABC上處理的，4(2)法1中點O明顯在平面ABC內，再用點O在平面外的結論顯然錯誤.

參考文獻

曹晶. 對幾個例子的辨析. 數學通報，2007（3）

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