解無理不等式的若干求簡策略

解無理不等式是中學數學的一個重要內容.求解無理不等式的常規思路是利用平方法將無理不等式轉化為有理不等式組求解，以解脫根式的糾纏和困擾，但與此同時需嚴格注意不等式兩邊的符號，往往運算繁瑣冗長，若我們細心觀察，抓住題目特征，因題定法，選擇合理的途徑，則可避開討論，優化求解過程，提高解題效率. 在具體的解題過程中，有以下求簡策略.

1 補集法

正面強攻困難時，用補集法考慮其對立面，可避繁就簡.

2 三角代換法

一些復雜的無理不等式，若能根據不等式的構造特征和解題的需要，選擇合適的三角函數去代換不等式中的變數，納入熟悉的三角變形軌道，化生為熟.

3 根式代換法

考慮到原不等式中的根號是困難所在，利用根式代換消除根式，把原不等式轉換成關于輔元的有理不等式，有時是十分方便的.

4 分子有理化法

分子有理化在處理無理式中有特殊的功能作用. 通過分子有理化，改變原不等式的結構，挖掘隱含條件，出奇制勝.

5 借助函數圖像求解

將原不等式適當變形，優化不等式結構， 再將不等式兩邊分別看作兩個函數，考察兩個函數的圖像，以形助數，能避免繁冗的計算和討論，展現出以簡馭繁的思路.

6 借助函數定義域求解

眾所周知，求解函數問題，要注意“定義域優先”的原則.若能把握函數、不等式之間的關系，直接考查不等式對應的函數的“定義域”，不等式的解集應是這個“定義域”的子集.借助“定義域”的調節轉化，減少許多中間運算環節，從而達到優化解題過程的目的.

7 借助函數值域求解

將不等式化成f(x)＜a(或f(x)＞a，a為常數)的形式，考察函數f(x)的值域，注意值域的特殊功能作用，出奇制勝.

8 借助函數單調性求解

某些不等式表面上看與函數單調性無關，但若仔細觀察題目整體結構特征，合理地利用題設條件，構造出相應的函數，利用函數的增減性，迅速擺脫根號的困擾，也是一種好的策略.

9 借助線性規劃求解

通過“雙換元”將原不等式轉化為混合組，在可行域內根據幾何意義先求出輔元的范圍，使原不等式得到巧妙解決，這種方法簡單直觀，具有創新性.

有些無理不等式，有解析幾何背景，我們可以通過“常量代換”將一元不等式轉化為二元不等式，仔細觀察整體結構特征，聯想圓錐曲線定義，化數為形，直接而簡明地獲解.

例10解不等式

構造輔助函數，利用零點將定義域分段，分別考查各區間上函數值的取值符號，用具體的求值驗證代替抽象的邏輯推理，這種方法類似于解高次不等式的“穿針引線法”，可操作性強，不失為一種有效手段.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>