在數學教學中培養學生思維的批判性

“吾日三省吾身”雖是一條古訓，但它永遠不會過時，含義是人每天都必須對自己的言語、行為進行反思回顧，不斷地修正錯誤，以求得各方面素質、修養的提高，取得穩步的進步.這種反思回顧體現在數學中就是數學思維的批判性.批判性是數學思維優良品質的一個重要特性，其內涵是能自覺地進行自我反省，對自己的思維和行為作出評價、判斷和監控，并可預見到可能出現的各種結果；能從問題的正、反兩方面進行思考，既有成功的思想準備，也有失敗再重來的思想意識；能及時判斷解題方法的優劣，調整改善解題的思路，以求得優美的解法；善于總結自己成功和失敗的經驗，并用來指導未來的實踐.

中學生由于年青幼稚、生活閱歷的欠缺、思維水平的局限、認知能力的膚淺、判斷概括能力的片面、自我控制能力的薄弱，在數學學習和解題活動中產生各種各樣的失誤是極其正常的，問題是教師要清醒地認識到在整個數學教學過程中，既要時時樹立“正面的形象”，也要充分利用“反面的典型”，雙管齊下，才能不斷地優化學生思維的批判性，以至從根本上發展他們的思維水平，提高分析問題與解決問題的能力.

1 質疑辨析 增強學生的批判意識

思維的批判不僅要對自己，也應該對他人，不迷信權威，不輕信課本，波利亞說過：對于書本上的定理我們不應該一開始就去記住它、運用它，而是要懷疑它，試圖從反面去否定它，這樣做雖然有時是徒勞的，但并非是無益的.因為這樣做的結果，能使我們真正深刻理解它，并由此得到許多意想不到的收獲，遠比直接運用它有益得多. 若沒有批判性，數學是不會取得進展的，這樣的例子很多，如羅巴切夫斯基否定了歐氏第一公設，創立了非歐幾何；古希臘數學家修伯修斯在研究正方形的過程中發現：若正方形的邊長為1，則其對角線的長既不是整數，也不是分數，而是一個人們當時還未認識的新數，于是推翻了他老師畢達哥拉斯的論斷“世界上只有整數和分數”. 畢達哥拉斯惱羞成怒，竟殘暴地將堅持真理的修伯修斯扔進了大海.

在《拋物線的概念和標準方程》的教學中，教者先讓學生解下列兩題：

(1) 求到點A(0，1)與定直線x=0距離相等的點P的軌跡方程；

(2) 求到點A(1，0)與定直線x=-1距離相等的點P的軌跡方程.

當解得(1)中的軌跡方程為y=1，(2)中的軌跡方程為y²=4x后，學生發現課本中拋物線的定義有毛病，而應該修正為“在平面內，到一個定點與一條定直線(定點在定直線外)距離相等的動點的軌跡叫做拋物線”，由此還聯想到橢圓、雙曲線的定義也應該作相應的修正.當今，各種課外讀物、教輔資料浩如煙海，其中不乏精品，但良莠不齊、魚龍混雜，也有不少錯誤百出的次品，若沒有批判意識，將后患無窮，從這里也可見培養學生批判意識的重要性.

2 構陷嘗誤 提高學生的自我批判能力

俗話說：“不吃一塹，不長一智”，為了克服學生的知識“盲點”，幫助學生走出認知的“誤區”，教者必須在數學問題中精心設計“陷阱”，讓學生充分品嘗“塹”帶給他們的苦頭，才能在吃虧上當后感到“痛心疾首”，在“嘗誤”后會更有效地提高辨析和批判能力，提高“免疫力”，今天的“錯”就避免了明天的“錯”.特別地，學生的一些“常見病”、“多發病”更是令師生大感“頭疼”的事，教者應帶領學生“向頑癥宣戰”，以堅韌不拔的意志對思維的惰性、認知的膚淺以及“玩忽職守”的草率態度展開“不屈不撓的斗爭”，不獲全勝，決不“收兵”！.

問題一經提出，教者通過巡視發現大多數同學給出下列答案：

所以，ac+bd的最大值為m2+n22.

這時教者并沒有急于指出這一答案是錯誤的，而是進行下面教學過程.

T：還有什么解法嗎？

所以ac+bd的最大值為mn.

T：好奇怪？上述兩種解法與第一種解法的結果不一樣，哪一個是正確的？

此時學生積極思考和討論交流，對上面三種解題過程進行剖析和診斷，最后達成一致意見，第一種解法是錯誤的，并找到產生錯誤的原因：在解答過程中，兩次運用了基本不等式，忽視了等號同時成立的條件.事實上，ac≤a2+c22，當且僅當a=c時等號成立；而bd≤b2+d22，當且僅當b=d時等號成立.由a2+b2=m2，c2+d2=n2得 m=n，顯然這與題設m≠n矛盾.所以上面兩個等號不能同時成立.

問題到此還沒有結束，教者趁熱打鐵又給出下面兩道題目讓學生練習.

（1）已知a，b為不相等正常數，x，y為正數，且滿足ax+by=1，求x+y的最小值．

（2）求函數y=x²+3x²+2的最小值.

吃一塹，長一智，學生吸取了上一題的教訓，對這兩題大部分同學都能冷靜思考，他們帶著批判的意識，排除了習慣性臆想，自我評價解題思路和方法，調整錯誤的思維結構，很快得出了正確結果.

通過嘗誤，辯誤，糾誤的過程，使學生深化了運用基本不等式解決問題的條件，完善了認知結構，同時提高了自我批判能力.

3 構造反例 在批判中發展學生的創造能力

欲推翻一個結論，特別是在解選擇題時，有時要排除某個選項，最好的方法就是構造反例，推翻結論、構造反例是發展批判與創造能力的大好時機，教者在日常教學中要密切關注這項工程的實施.

例2 四個面是全等三角形的三棱錐()．

（A） 一定是正棱錐（B） 一定是正四面體

（C）不一定是正棱錐 （D）一定不是正棱錐

若“玩忽職守”，學生很容易選(A)，但養成批判思維良好習慣的學生在深思，能否構造出一個符合題設條件的三棱錐，而它不是正棱錐呢？經過探索，他們竟然獲得了成功！如圖1，ABC與DBC是全等的兩個等腰三角形，以BC為軸適當轉動△ABC，使AD=BC，則此三棱錐的四個面就都是全等的三角形，而它卻不是正棱錐.

圖1圖2例3 函數f(x)的定義域關于原點對稱，且對于定義域中的任一x的值都有|f(x)|=

|f(-x)|，則()．

（A） f(x)是奇函數

（B） f(x)不可能是既非奇函數又非偶函數

（C） f(x)是偶函數

（D） f(x)可能是既非奇函數又非偶函數

對于這道富有挑戰性的問題，有些學生輕易地選了（C），但許多學生不同意，憑直覺認為應選（D），但一時又舉不出具有說服力的反例.讓他們調動智慧與知識貯存，通過嘗試探尋，終于找到令人叫絕的反例：f(x)

x (1≤x＜0或0＜x≤2)，，函數的圖像如圖2所示，該函數完全滿足題設條件，但它確實既不是奇函數，又不是偶函數，故應選（D）.

4 檢驗回顧，在批判中發展學生的思維縝密性

解數學題要不要檢驗？對這個問題要作具體分析，當結論明顯地符合或不符題意時，可直接作出判斷.但在有些時候，卻要審慎地對待獲得的結果，不能輕率地下結論.

圖3例4 如圖3，斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形，直角邊AB=AC=2，側棱與底面成60°角，BC1⊥AC，BC1=26，求BC1與底面ABC所成的角.

學生這樣解答：作C1H⊥AB于H，連CH、AC1.由AB⊥AC，BC1⊥AC得AC⊥面ABC1，則面ABC⊥面ABC1，C1H⊥面ABC，∠C1BH為所求.

設AH=x，則BH=2-x，在△BHC中，由余弦定理得CH2=x²+4.又在Rt△BC1H中，C1H=24－(2－x)2=20+4x－x².又側棱與底面成60°角，所以側棱與底面所成的角∠C1CH=60°，那么在Rt△C1CH中，tan∠C1CH=C1HCH=20+4x－x²x²+4=3.解得x=2，或x=-1.兩根一正一負，如何取舍？思維的批判能力有了用武之地.按“習慣勢力”，好像應“舍負留正”.但當x=2時，H與B重合，怎么理解？仔細辨析一下，當x=2時，H與B重合，這時BC1⊥面ABC，所求角為90°，完全符合題意！能舍去x=-1嗎？事實上，當x=-1時，點H在BA的延長線上，也符合題意！此時BH=3，C1H=15，tan∠C1BH=C1HBH=153，所求角為arctan153.

這個辨析、精思、檢驗的過程大大豐富了學生解題活動的閱歷，留下的深刻印象也為今后的解題提供了一個可資借鑒的典型模本.

5 自我不滿，探尋更加簡捷流暢的解法

實戰中絕妙優美的解法從何而來？依靠的當然是扎實的知識基礎、熟練的技能技巧、機智靈活的思維與豐富的求優致簡的經驗，這些都是平時總結積累的結果.平時應該對自己的成功解法持批判的態度，總要捫心自問，能否進一步改善原有的思路？有沒有更好的解法？要有一種“解法不優誓不休”的氣魄和決心，那么在實戰中就能得到自然的發揮，漂亮簡捷的思路就會來到心頭筆下.

圖4例5 半徑為1的圓的圓心C在拋物線y²=4x上，圓C與直線y=x交于P、Q兩點，若PC⊥QC，求圓C的方程.

如圖4，因為 PC⊥QC，P、Q在直線y=x上，所以 △PCQ是等腰直角三角形，則可設出P、C、Q三點的坐標與圓的方程，但是必須考慮三種不同的位置，稍有不慎，則會造成難以挽回的失誤.但即使想到有三種情況，

繁冗的計算也會使人感到疲憊不堪，甚至喪失斗志.怎么辦？難道不存在一種使自己滿意的解法嗎？不甘心就此罷休！站高些，看遠些，想深些，思活些，忽然靈感來了，在三種情況下不是都有“C到直線y=x的距離是22”這個本質特征嗎？一個巧妙的點子油然而生，于是設C(4t2，4t)，則|4t2－4t|2=22，解得t=12，或t=1±22.

當t=12時，得C(1，2)，所求圓為(x－1)2+(y－2)2=1.

當t=1±22時，得C(3±22，2±22)，所求圓為(x－3±22)2+(y－2±22)2=1.

若陶醉于已經獲得的成功解答，故步自封、不思進取，就享受不到更高層次的美感和快感，是批判精神使我們的思維水平和能力更上一層樓.

在培養批判性的同時，也時時涉及到了思維的其他優良特性，如縝密性、敏捷性、深刻性、廣闊性和創造性，真是一舉多得，何樂而不為呢！

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”