新課標下一道課本例題的“源、流、回”

《基礎教育課程改革綱要（試行）》中指出：“教材的改革應有利于引導學生利用已有的知識和經驗，主動探索知識的發生與發展，同時也有利于教師創造性地教學．”所以新教材不再將教材看作學科知識體系的濃縮和再現，而是將教材看作引導學生認識發展、生活學習和人格建構的一種范例，旨在引導學生認知、分析、理解事物并進行反思、批判和建構，是學生發展的“文化中介”，是師生進行交流的“話題”．因此教師對待教材不應該是簡單的復制和接受，而應當創造性的使用教材，正確合理地“用”之，特別是對課本例題、習題有必要進行挖掘、探究、延伸、推廣，使許多數學問題形成網狀結構，讓學生形成數學問題鏈、方法鏈、模型鏈．

本文以人教版必修第2冊教科書中的一道例題和習題的處理來說明此項工作的做法．

1 問題的源頭

人教版高中《數學》題

思考與分析：因為兩定點A，B在x軸的同側，由兩點之間線段最短及三角形中任意兩邊之差都小于第三邊可知，點P為連接A、B兩點所在的直線與x軸的交點；點P到兩定點距離之差的最大值為|AB|的長度，如圖2，

思考與分析：因為兩定點A、B在x軸的同側，作點A關于x軸的對稱點A′，對稱軸上任意一點到兩個對稱點的距離相等，由兩點之間線段最短及三角形中任意兩邊之和都大于第三邊可知，點P為連接A′、B兩點所在的直線與x軸的交點；點P到兩定點距離之和的最小值為|A′B|的長度，如圖3，

3．2 形成模式

（1） 在已知直線l上求一點P，使P到兩定點的距離之差最大．

①當兩定點A、B在直線l的同側時，（AB連線與l不平行）連接A、B兩點所在的直線，交直線l于點P，如圖4，在l上任取一點P′，則有

|P′B|-|P′A|≤|AB|=||PB|-|PA||．

當P′與P兩點重合時，等號成立，最大的值為|AB|．

圖4圖5② 當兩定點A、B在直線l的異側時，作一點A關于直線l的對稱點A′，連接A′B，交l于點P，如圖5可知：||PB|-|PA′||=|A′B|時，達到最小，||P′B|-|P′A′||≤|A′B|，當P′與P重合時，等號成立，最大值為|A′B|．

（2） 在直線l上求一點P，使P到兩定點的距離之和最?。?/p>

① 當兩定點A、B在直線l的異側時，由兩點之間線段最短及三角形中任意兩邊之和都大于第三邊可知，點P為AB連線與l的交點，點P到兩定點距離之和的最小值為|AB|的長度，如圖6，|P′A|+|P′B|≥|AB|=|PA|+|PB|，當且僅當A、B、P三點共線時等號成立．

② 當兩定點A、B在直線l的異側時，作點A關于直線l的對稱點A′，連接A′B交直線l于點P，則點P使之到兩定點A、B的距離之和最小．

故用形成的模式可以解決上面的一個引申問題：已知點A（-1，2），B（2，7），直線l:x-y+1=0．

（1） 在l上求一點P，使|PA|+|PB|的最小值，并求此最小值；

（2） 在l上求一點Q，使|QA|-|QB|的最大值，并求此最大值．

圖6圖73．3 模式的應用（數形結合）

3．3．1 用模式解決函數的最值問題

（1） 求函數f(x)=x²+2x+5-x²-4x+11的最大值及此時x的值．

思考與分析：依據兩點間的距離公式，我們可將問題轉化為數軸上動點到兩定點距離之差的最大值，這就需要把題中兩個根號下的式子表示成兩點間距離公式的形式d=(x2-x1)

評注：以上幾例可以看出，構造解幾模式求代數問題（如求函數最值）的應用相當廣泛，若能加強數學各分支間的橫向聯系，拓寬解題思路，開闊視野，有益于打破思維定勢，培養創造性思維．

新課標課程理論中內容的呈現方式是螺旋式上升且具有一定的彈性．從內容上講，一是教材內容的可提升空間加大，教材例題可以引申或直接把教材上的題目當特例擴展出一般結論；二是把教材習題附加上新的內容，使之朝新的方向發展．從形式上講，可以把題目設置成階梯遞進的探究題，讓學生一步一步展開探索之路．這種方式將更能體現學生自主探究的意識，全面考察學生的數學基礎和數學學習的潛力．

參考文獻

1 李剛．從一道課本例題的教學談反思．數學教學通訊．2007（1）上

2 熊仕舉．一道課本習題的求解與引申探究．中學數學教學參考，2006（7）上

3 秦增平．課本的一個平面向量習題的源與流．數學教學，2007（4）

4 李連方．反思新教材例習題，培養思維品質．中學教研，2007（2）

5 王峰成．從一個課本習題組感知實驗教材．中學數學教學，2007（2）

6 新課標教案數學A版 必修2

7 普通高中數學課程標準

8 教材完全解讀（人教版A版高中數學必修2）

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>