探究與變式

今日教育，創新是核心，實踐為重點，數學教學，應該是一種再發現，再創造的過程教學．在美國，如果非要用某個詞來描述近30年來科學教育工作者所努力追求的目標，這個詞一定是“探究”^[1]．在中國，如果非要某個詞來表達恢復高考以來廣大中學教學教師所努力追求的法定，亦或說，非要用某個詞來概括中國數學雙基教學的特征，這個詞一定是“變式”^[2]．探究與變式能糅合嗎？本文從“雙曲線與直線的位置關系”的課堂教學談起．

1 教學設計

1．1 展示問題，學生嘗試

問題1：k為何值時，雙曲線x²9-y²4=1與直線y=kx-1相切？（設計意圖：讓學生在嘗試中陷誤！）

變式：k為何值時，雙曲線x²9-y²4=1與直線y=kx-1有且只有一個公共點？（設計意圖：讓學生在誤中悟！）

1．2 畫圖探究，歸納結論

問題2：在同一坐標平面內，雙曲線與直線的位置關系有哪些情況？請畫草圖列舉．（設計意圖：讓學生先自主探究，后小組交流，再全班展示，窮盡位置關系的各種可能．）

變式：從代數（方程）的角度，小結雙曲線與直線位置關系的判定方法？（設計意圖：類比橢圓，形數結合，注意雙曲線的開放性，培養學生的語言表達能力和數學概括能力．）

1．3 變式探究，鞏固提高

問題3：過點A（0，2）可以作條直線與雙曲線x²9-y²4=1有且只有一個公共點？

變式1：過點A（3，2）可以作條直線與雙曲線x²9-y²4=1有且只有一個公共點？

變式2：找一點A，使過點A可以作3條直線與雙曲線x²9-y²4=1有且只有一個公共點？

變式3：能否找到一點A，使過點A只可作1條直線與雙曲線x²9-y²4=1有且只有一個公共點？

變式4：過一點A，作與雙曲線x²9-y²4=1有且只有一個公共點的直線，這樣的直線條數有哪幾種情況？（設計意圖，讓學生在變式中畫圖探究，并領悟結論的一般性．）

問題4：過雙曲線x²-y²2=1的右焦點F作直線與雙曲線交于A、B兩點，（1） 當弦長|AB|=4時，這樣的直線可以作出條；（2） 當弦長|AB|=3時，這樣的直線可以作出條？

（3） 你還能得出什么結論？（設計意圖：讓學生會自編變式題，自主探究結論，再次領悟結論的一般性．）

問題5：已知雙曲線x²-y²3=1，求（1） 以定點A（2，1）為中點的弦所在的直線方程．（2） 以定點B（1，1）為中點的弦存在嗎？為什么？（設計意圖：準備預案，將探究從課堂延伸到課外．）

2 教后反思

2．1 摸準學情——教學成功的關鍵

隨著高中招生規模不斷地擴大，很多數學基礎薄弱的學生也進入了高中，到高二學習數學時，已是力不從心．筆者通過調查摸底，了解到了很多學生“恐懼”數學，在數學老師面前感到自卑，在數學課堂上感到緊張，學數學往往是“一聽就懂，一做就錯”．所以他們給老師建議：“課堂內容不要太多，要留思考問題的時間．”“不要追求一題多解，巧思妙解，而要多題一解、一題多變．”……為此，筆者通過不斷實驗和反思，認定以下三條在課堂教學中切實可行：① 強動機，濃興趣，把問題作為教學的出發點，讓課堂充滿歡樂．② 低起點，密臺階，給“潛能生”說與做的機會，讓學生不斷嘗試成功．③ 學變式，多探究，敢質疑，教給學生科學的學習方法，并輔以個別矯正和心理疏導．這就是本課教學設計的“大背景”．

2．2 找準知識生長點——教學設計的關鍵

找準知識的生長點，讓數學學習在學生思維的“最近發展區”展開，是設計好課堂教學的關鍵．本課的學習是建立在“圓與直線的位置關系、橢圓與直線的位置關系”基礎之上的，學生已經掌握了其位置關系的判定方法：聯立方程組，消去一元，得另一元的二次方程，然后根據其判別式的符號判定相交、相切、相離．但雙曲線因其開放性，有不同于圓與橢圓封閉性的特殊之處，因此就有問題1的設計和問題3的變式．而位置關系判定方法的歸納，建立在圖形的基礎上很直觀，本課學生概括時，就遺留了“聯立方程組，消去一元，得矛盾等式1=0”這一情況，對照畫圖探究結果中，“相離”的極端情形——“雙曲線與它的兩條漸近線”，就能明白錯誤，因此就有問題2的設計．在圓與直線、橢圓與直線的位置關系中，已經研究過“弦長計算”與“中點軌跡問題”，再遷移到雙曲線與直線的位置關系中是很自然的，為此就設計了問題4和問題5．

2．3 讓課堂動態生成——變式與探究糅合的

關鍵傳統的課堂教學，教師總是按預設進行，不愿學生“節外生枝”；總是啟發學生回答問題，而回避甚至打斷學生質疑問題．本課的教學，學生就提出了兩個預設之外的問題．

其一是，在問題2中，畫圖探究雙曲線與直線的位置關系，有直線與雙曲線交于兩點的兩種情形，這時有學生質疑，直線與雙曲線何時交于雙曲線的一支？何時交于兩支？筆者沒有急于回答，而請全班學生思考，片刻后便有學生解決了這一問題：比較直線斜率的絕對值|k|與雙曲線漸近線方程y=±bax中的ba的大小，① 當|k|＜ba時，直線交雙曲線于兩支；② 當|k|＞ba時，直線交雙曲線于一支．

其二是，在問題5中，學生比較以A（2，1）為中點存在“中點弦”，而以B（1，1）為中點，不存在“中點弦”后，好奇地問：哪些平面區域內的點存在“中點弦”？哪些平面區域內的點不存在？盡管這時離下課不到5分鐘，但筆者沒有回避，還是靜下心來與學生商討解決問題的辦法．學生們分組，有的通過取特殊點驗證，有的通過畫圖探究，得出了猜想：如圖1，雙曲線及其漸近線將平面區域分成六部，其中在平面區域①④⑤⑥內取點，存在“中點弦”；而在平面區域②③內取點．不存在“中點弦”，雙曲線上的點不符合要求，漸近線上的點（原點除外）也不存在“中點弦”．能不能給出證明，下課鈴聲響起，只能在課外探究．

圖1課后，筆者指導部分學生艱難地得出了證明:設點C（x0，y0)為坐標平面內任意點，過點C作直線與雙曲線

這個計算過程，真是一個“痛苦”的過程！其繁難程度，超出了一般學生的心理承受能力，我和學生都幾次想放棄，但憑著對數學的癡迷與執著，抱著不怕失敗的決心，還是咬牙堅持了下來．古人說得好，“山重水復疑無路，柳暗花明又一村．”證明終于重現了光明：Δ中的因式3x²0-y²0-3與雙曲線方程3x²-y²-3=0有關，因式3x²0-y²0與雙曲線漸近線3x²-y²-3=0有關，聯想不等式表示平面區域的知識有：

（1） 當在平面區域①、④內取點時，3x²0-y²0-3＞0，3x²0-y²0＞0，此時Δ＞0，以點C為中點，不存在“中點弦”．

（2） 當在平面區域②、③內取點時，3x²0-y²0-3＜0，3x²0-y²0＞0，此時Δ＜0，以點C為中點，存在“中點弦”．

（3） 當在平面區域⑤、⑥內取點時，3x²0-y²0-3＜0，3x²0-y²0＜0，此時Δ＞0，以點C為中點，存在“中點弦”．

（4） 當在雙曲線上取點時，3x²0-y²0-3=0，此時Δ=0，以點C為中點不存在“中點弦”．

（5） 當在漸近線上取點時，3x²0-y²0=0，此時Δ=0，以點C為中點不存在“中點弦”．

以上都是在y0≠0時的結論，即不包括x軸上的點．因為當y0=0時，kMN無意義，Δ不存在．此時在平面區域①、④中的x軸上取點C時，存在以點C為中點的“中點弦”，即垂直于x軸的弦；在平面區域②，③中的x軸上取點C時，不存在以C為中點的“中點弦”．而當點C與雙曲線兩頂點重合時，也不存在點C為中點的“中點弦”，但當點C與坐標原點重合時，卻存在以點C為中點的“中點弦”，即垂直于y軸的弦．

綜上所述，在平面區域①④⑤⑥和坐標原點取點時，存在以該點為中點的“中點弦”．

探究與變式的糅合，讓課堂充滿生機課外充滿活力，讓數學教學自然流暢，讓學生越來越喜歡數學學習．

參考文獻

1 羅騰根．高一（上）數學探究性活動的設計．數學教學通訊，2003（9）

2 羅騰根．變式．數學課堂教學之法寶．數學教學通訊，2006（10）

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”