淺談高考數(shù)學(xué)試卷上的“任意”

“任意”作為一種特殊的數(shù)學(xué)語言，近年頻頻出現(xiàn)在高考試卷上，下面結(jié)合例題，從三個方面描述“任意”的含義．

1 “任意”決定了某一個對象的取值范圍

例1 （2007江蘇·15）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知△ABC的頂點(diǎn)A（-4，0）和C（4，0），頂點(diǎn)B在橢圓x²25+y²9=1上，則sinA+sinCsinB=．

評析：題中“頂點(diǎn)B在橢圓上”決定了頂點(diǎn)B的任意性，同時，由橢圓軌跡可以確定頂點(diǎn)B的取值范圍，因此在B的取值范圍內(nèi)取一特殊點(diǎn)B（0，3），構(gòu)成特殊△ABC，問題即解決．

總結(jié)：① 此類題型，首先明確對象，根據(jù)對象的任意性尋找范圍，之后在取值范圍內(nèi)，取適當(dāng) 值，解決問題．

② 有些題中，沒有明確的“任意”詞眼，需要同學(xué)仔細(xì)尋找，并確定對象的取值范圍．

例2 （2002北京·22）對于函數(shù)f(x)，若存在x0∈R，使得f(x0)=x0成立，則稱x0為f(x)的不動點(diǎn)，已知f(x)=ax²+(b+1)x+(b-1)，其中0＜a＜1，若f(x）恒有兩個不動點(diǎn)，并且y=f(x)圖像上A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)f(x)的兩個不動點(diǎn)，且A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=kx+12a²+1對稱，求b的最小值．

評析：題中“直線y=kx+12a²+1”中的k∈R，即k任意，這在題中沒有直接說明，需要同學(xué)仔細(xì)審題．根據(jù)題意，當(dāng)k=-1時，問題就被簡化．避免對參數(shù)k的討論．

解：由f(x)恒有兩個不動點(diǎn)，f(x)=x，則有

如圖6，此不等式組表示的區(qū)域?yàn)槠矫鎍Ob上三條直線：2-b=0， a-3b+2=0， 4a-5b+2=0．

所圍成的△ABC的內(nèi)部，其三個頂點(diǎn)分別為：

A（47，67），B（2，2），C（4，2）．z在這三點(diǎn)的值依次為167，6，8．所以z的取值范圍為（167，8）．

因?yàn)?0＜a＜1，當(dāng)且僅當(dāng) 2a=1a成立，即當(dāng)a=22時，b取最小值，其b的最小值為-24．

2 “任意”反映了某一個實(shí)體所具有的性質(zhì)（或

屬性）例3 （2007江蘇·7）若對于任意的實(shí)數(shù)x，有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3，則a2的值為．

評析：由于對任意的實(shí)數(shù)x，x3都有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3，反映了實(shí)體x3具有的二次項(xiàng)展開性質(zhì)，因此此題應(yīng)從二次項(xiàng)展開性質(zhì)為切入點(diǎn)，切記不要針對x的任意性，而采取特殊法，將步入解題陷阱．

解：由x3=(x-2+2)3=C03(x-2)0·23+C13（x-2)·22+C23（x-2)2·2+C33（x-2)3，

知：a2=6.

例4 （2001廣東）設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于直線x=1對稱，求證：f(x)是周期函數(shù)．

證明：根據(jù)題意，f(x)關(guān)于直線x=1對稱，有 f(x)=f(1+1-x)，

故 f(x)是R上的周期函數(shù)．

總結(jié)：“任意”反映實(shí)體的性質(zhì)，其實(shí)體可以是一個函數(shù)、一個方程、一個圖形，對于實(shí)體的性質(zhì)，例如上題中，“任意”反映函數(shù)的奇偶性、周期性．

3 “任意”引起了全體對象的分類

例5 設(shè)集合M={0，1，2}，N={1，2，3，4，5}，從M到N的映射，f:M→N，使任意x∈M，都有x+f(x)+x·f(x)是奇數(shù)，這樣的不同映射的個數(shù)有個．

評析：由于x的任意，引起對集合M全體元素的分類．

解：當(dāng)x=1時，N中任意一個元素作為像都可以滿足映射f，因此有5種對應(yīng)．

當(dāng)x=0或2時，N中只有是奇數(shù)的元素作為像才滿足映射f，因此有3×3種對應(yīng)．

故不同映射的個數(shù)為5×3×3=45種．

下表是分析示意圖：

元素奇偶性示意圖x奇數(shù)奇數(shù)偶數(shù)偶數(shù)f(x)奇數(shù)偶數(shù)奇數(shù)偶數(shù)x·f(x)奇數(shù)偶數(shù)偶數(shù)偶數(shù)x+f(x)+x·f(x)奇數(shù)奇數(shù)奇數(shù)偶數(shù)例6 三角形的三個內(nèi)角α、β、γ，對任意x、y、z，求證：x²+y²+z2≥2xy

例7 （1995全國）由1，2，3，4，5這五個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中是偶數(shù)的三位數(shù)共有個．

評析：由于排列元素的順序具有任意性，五個數(shù)中有兩個偶數(shù)，因此需要分類考慮．

解：當(dāng)2個在個位上的三位數(shù)有A24個，當(dāng)4在個位上的三位數(shù)也有A24個，所以沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)共有2A24=24個．

總結(jié)：在一些集合、排列問題中，涉及元素的取法，根據(jù)集合元素的任意性，排列問題的隨機(jī)性，有時需要對元素進(jìn)行分類，在一定程度上，“任意”間接反映了數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)．

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”