歷史故事與數學思想方法

在我們熟悉的歷史故事中，有不少蘊涵著常用的數學思想方法．如果我們能利用這些歷史故事來啟發、引導學生進行相關的數學思維，解決數學問題，往往會收到事半功倍的效果，學生容易理解，并能主動運用．下面舉幾例來說明．

1 魯班造鋸與類比思想

魯班造鋸是學生熟悉的一個歷史故事．當魯班的手不慎被一片小草割破后，他通過仔細觀察發現小草葉子的邊沿布滿了密集的小齒．于是便產生聯想，根據小草的結構發明了鋸子．魯班在這里就運用了“類比思想”．

所謂“類比思想”，就是在兩類不同的事物之間進行對比，找出若干相同或相似點之后，推測在其他方面也可能存在相同或相似之處的一種思維方式．類似的故事還有“叩診法”的發現．

18世紀中葉，奧地利醫生奧恩布魯格，從制酒商經常用手指關節敲叩木制酒桶，憑著叩聲的不同，就能準確地估計出桶內還有多少酒．由此他聯想到，是否可以把人的胸腔類比作酒桶，根據用手指敲叩患者胸部所得的不同音響來作出診斷呢？由此他發明了“叩診法”，此法至今仍是臨床醫療中常用的診斷方法之一．

在中學數學中，應用類比推理的例子是很多的．比如，從整數的運算與性質，可以推想有理數的運算與性質；從分數的有關性質與法則，可以推想分式的有關性質與法則；從實數的有關運算，可以推想代數式的有關運算；可以根據三角形的性質，推想四面體的性質；等等．

2 曹沖稱象與轉化的思想（化歸的思想）

在曹沖稱象的故事中，聰明的曹沖運用了這樣一種方法：要知道大象的體重但不能直接去稱，便把問題變為容易辦到的去稱石頭的重量，最后由石頭的重量還原為大象的體重．

這里曹沖運用了一個極為普遍的思想：轉化的思想．即把有待解決的問題，通過適當的方法，轉化為已經解決或已經知道其解決方法的問題．

類似的故事還有“七橋問題”：在18世紀，東普魯士哥尼斯堡（今屬立陶宛共和國）內有一條大河，河中有兩個小島．全城被大河分成四塊陸地．河上架有七座橋，把四塊陸地聯系起來．當時許多市民都在思索如下的問題：一個人能否從某一陸地出發，不重復地經過每座橋一次，最后回到原來的出發地．這就是歷史上有名的哥尼斯堡七橋問題．大數學家歐拉用“一筆畫”的方法解決了這個問題，就是巧妙地運用了轉化的思想．

在中學數學教材中，運用轉化方法的例子是很多的．如，多邊形內角和定理是轉化為三角形內角和定理而得到解決的；分式方程是轉化為整式方程得到解決的；方程組（不等式組）是轉化為方程（不等式）得到解決的；等等．

3 司馬光砸缸與逆向思維的思想

司馬光砸缸的故事，是人們很熟悉的歷史故事．當一個小朋友掉進大水缸里以后，其他小朋友想到的是讓“人離開水”，當無法把落水小孩撈起時便驚慌失措．司馬光想到的卻是讓“水離開人”，在緊要關頭把缸砸破讓水流去，救活了這個小朋友． 這里便運用了逆向思維的方法，即“人離開水”的逆向思維是“水離開人”．

逆向思維是一種 積極的具有創造性的思維形式．它可以培養人們思維的靈活性與創造性．然而人們卻往往受習慣思維（思維定勢）的影響，喜歡從正面，也就是順向去思考問題，而不愿意或很少從反面，也就是逆向去思考問題．實際上，有些問題，正難則反，如果我們不要受思維定勢的影響，從反面逆向的去思考問題，或逆用公式、性質等，常常可以收到意想不到的效果，而且還訓練了學生的靈活思維能力．

逆向思維的運用是很廣泛的．我們可以逆用公式、性質、法則等進行計算、化簡、求值；運用逆向思維進行巧妙的證明（如，反證法與分析法）；甚至在游戲中也可用逆向思維的方法．

4 開普勒以直代曲的思想

微積分源于解決四大問題：速度、切線、最值、面積（體積）．其最基本的思想就是“以直代曲”．這里還有一個有趣的故事：開普勒很喜歡喝啤酒．一天，喝著喝著，突然懷疑起啤酒商的啤酒桶的體積來，想驗證一下體積是否符實，有沒有耍什么花招．經過苦思，找到了一種《測定啤酒桶體積的新方法》，書中討論了多種旋轉體的體積，基本思想就是“以直代曲”．

5 “道旁李苦”與反證法的思想

王戎七歲的時候，和小朋友們一道玩耍，看見路邊有株李樹，結了很多李子，枝條都被壓斷了．那些小朋友都爭先恐后地跑去摘．只有王戎沒有動．有人問他為什么不去摘李子，王戎回答說：“這樹長在大路邊上，還有這么多李子，這一定是苦李子．”摘來一嘗，果然是這樣．（《世說新語》）

這個故事說明，王戎小時候能夠勤于觀察、善于動腦，能根據有關現象進行推理判斷，而且他的推理是正確的．這里王戎運用的就是反證法的思想：論題是樹在道邊而多子，此必苦李，論證過程應是：假使不是苦李，那么長在道邊沒人看管的李子一定會被人吃了，但實際上李子卻沒有人吃，這與假設相矛盾．所以，假設不成立，一定是苦李．

6 “大敦穴”的發現與歸納法的思想

《內經》是我國最古老的一部醫學寶典，其中的《針刺篇》曾記載了這樣一個故事：有一個樵夫經常犯頭疼病，但找不到治療的辦法．有一次，這個樵夫上山去砍柴，無意中碰破了足拇指，出了一點血，但這時他卻感到頭部不疼了，當時他也沒有在意．后來，他的頭疼病復發，在砍柴時又偶然碰破了上次碰破過的地方，這時他的頭疼病又好了，這次卻引起了他的注意：奇怪，為什么碰破了這個部位，我的頭疼病就好了呢？于是便記住了這個部位．以后，每當他犯頭疼病的時候，就有意識地去刺破這個部位，結果頭疼病馬上就好了，或是減輕了疼痛．這個樵夫所碰的部位，就是現在人體穴位中的大敦穴，它在足拇指的指甲的外側根部．

這個樵夫發現大敦穴的過程，就是采用了歸納法的思想．

歸納法就是從特殊的具體的認識推進到一般的抽象的認識的一種思維方式．它是科學發現的一種常用的有效的思維方式．

比如：“哥德巴赫猜想”的發現、多面體中的“歐拉公式”的發現、費爾馬大定理的發現都是運用歸納法的典型例子．中學數學中的例子更是多的不勝枚舉：多邊形內角和定理、冪的運算法則等無不是用歸納的思想得出的．

7 《莊子》與無窮的思想

早在遠古時代，無限的概念就比其他任何概念都激動著人們的感情，而且遠在兩千年以前，人們就已經產生了對數學無窮的萌芽認識．在我國，著名的《莊子》一書中有言：“一尺之棰，日取其半，而萬世不竭．”從中就可體現出我國早期對數學無窮的認識水平．而我國第一個創造性地將無窮思想運用到數學中，且運用相當自如的是魏晉時期著名數學家劉徽．他提出用增加圓內接正多邊形的邊數來逼近圓的“割圓術”，并闡述道：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣．”可見劉徽對數學無窮的認識已相當深刻，正是以“割圓術”為理論基礎，劉徽得出徽率，而其后繼者祖沖之更是得出了圓周率介于3.1415926與3.1415927之間的領先國外上千年的驚人成果．

8 “二桃殺三士”與“抽屜原理”

《 晏子春秋》里記載了一個“二桃殺三士”的故事：齊景公門下有三名武力超群的勇士，他們雖為齊國立過不少功勞，但卻都因居功自傲而目中無人、橫行霸道．齊國的宰相晏嬰就想除掉他們．晏嬰知道，用武力絕對制服不了三人，只能用別的計謀．于是，他請齊景公賞賜三名勇士兩個桃子，并且吩咐說：“你們自己按各人功勞的大小去分配桃子吧!”

三名勇士都要求自己單獨吃一個桃子，否則，就意味著自己的功勞不大，豈不有失勇士的面子，這是絕對不能讓步的．但他們又感到雖然自己單獨吃一個桃子是受之無愧的，但這樣一來，其余兩位就只能合吃一個桃子了，這將使他們感到奇恥大辱，為了夸耀自己而羞辱朋友，又有損哥們義氣．他們左右為難，便都賭氣自殺了．

晏子不費吹灰之力便達到了預期的目的，實在算得上“陰謀”．但有趣的是，他卻運用了數學中的一個重要的原理——抽屜原理．

抽屜原理又名鴿籠原理或狄力克雷原理．這個原理形象的說法就是：把三件物品放到兩個抽屜里，一定有一個抽屜里至少有兩件物品．

這個故事中兩個桃子可看作兩個抽屜，三名勇士可看作三件物品，把三件物品放到兩個抽屜中，至少有兩件物品要落進同一個抽屜里，即至少有兩名勇士只能合吃一個桃子．由于三名勇士都爭強好勝，互不相讓的性格弱點，就決定悲劇結局的不可避免，老謀深算的晏子就憑簡單的抽屜原理而穩操勝券了．

類似還有：“在13個人中必有2個人是在同一個月份出生的”，“在同一年出生的367個人中至少有2個人生日相同”，等等．