一道向量思考題的思考

(人教社A版選修2-1第95頁思考題2)已知空間中任意一點O和不共線的三點A、B、C滿足向量關(guān)系式OP=xOA+yOB+zOC(其中x+y+z=1)的點P與點A，B，C是否共面?

此題以及其他表述方式都可以總結(jié)成在各種資料上出現(xiàn)頻率最高的兩道題目：

題1 若對任意一點O且OP=xOA+yOB，則x+y=1是P、A、B三點共線的（）．

（A） 充分不必要條件 （B） 必要不充分條件

（C） 充要條件 （D） 既不必要也不充分

題2 若對任意一點O和不共線的三點A、B、C且OP=xOA+yOB+zOC，則x+y+1=1是P、A、B、C四點共面的（）．

（A） 充分不必要條件 （B） 必要不充分條件

（C） 充要條件 （D） 既不必要也不充分

對于題1，可證明如下：若P、A、B三點共線，根據(jù)共線定理知：AP=λAB (λ∈R），所以 OP-OA=

一直以來都覺得這個推證過程無懈可擊，沒有問題，所以就這么講也這么用的.手頭上的很多資料包括一些高三復(fù)習(xí)資料都有上述題目或類似的表述也是上述類似的結(jié)論，有的還當(dāng)成固定結(jié)論要求學(xué)生記住.

對這組結(jié)論的質(zhì)疑源于學(xué)生提出的兩個題組：

對于題3，由平面上三點A，B，C共線的充要條件為OB=a1OA+a200OC當(dāng)且僅當(dāng)a1+a200=1，所以 S200=200(a1+a200)2=100，故選（A）.學(xué)生提出為什么要加上括號里的注釋：該直線不過點O?是不是不加此注釋充要條件就不滿足了?

對于題4(1)法1：由A，B，C，G四點共面，又CG=1λOA+1λOB+1λOC，所以 3λ=1，λ=3.

圖1法2：由圖1可知，

法1：仿上述法1，由A，B，C，H四點共面及四點共面的充要條件得：3m=1，m=13.

法2：因為H是兩邊上的高的交點即為垂心，所以 AH·DC=0，于是 （OH-OA）·（OC-OB

用同樣的理論和方法的結(jié)果卻是不同，問題出在哪呢?從解答的過程我們感覺到題4的兩題雖然差不多，所使用的方法也近似，但(2)的法1明顯有問題，假設(shè)法1的結(jié)論對的話，結(jié)合4(1)的結(jié)論，則成了任意三角形的重心和垂心重合了.

通過上面的對題3，4的分析可以看出，問題出在“任意點O”，其位置并非是“平面上任意一點”或“空間中任意一點”.

對于題1，若選取的“任意點O”在直線AB上，點P也在直線AB上即O，A，B，P四點共線，令e為直線AB的單位方向向量，則OA=ae，OB=be，OP=pe(其中a，b，p∈R)，由OP=xOA+yOB即pe=xae+yce得p=ax+by.這是一個二元一次方程，有無數(shù)組解，所以x+y不一定等于1，但P、A、B三點共線，所以若對任意一點O且OP=xOA+yOB，則x+y=1是P、A、B三點共線的充分不必要條件，應(yīng)選（A）.

若要使得上述題1中的條件為充要條件就應(yīng)對點O有所限制，改為“任意點O（O不在直線AB上”或“向量OA，OB不共線”等類似的說法.

若要使得上述題2中的條件為充要條件就應(yīng)對點O有所限制，改為“空間任意一點O（O不在平面ABC上）”或“向量OA，OB，OC不共面”等類似的說法.

前面證明過程的錯誤也是非常明顯了，其都是按點O不在直線AB上或不在平面ABC上處理的，沒有考慮點在直線上或在平面上的情形.

上述問題澄清以后，題3，4的問題也變的明確了，題3中加上注釋就是為了防止a1+a200≠1的情形發(fā)生;題4(1)的證明沒有大問題，但其中還是把點O看成是不在平面ABC上處理的，4(2)法1中點O明顯在平面ABC內(nèi)，再用點O在平面外的結(jié)論顯然錯誤.

參考文獻(xiàn)

曹晶. 對幾個例子的辨析. 數(shù)學(xué)通報，2007（3）

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”