聚焦２００７年中考中的圓（上）

綜觀近幾年全國各地中考題，對圓的概念的考查一般以填空題、選擇題為主，分值一般在10～15分左右；圓的有關性質，如圓周角，切線的判定與性質等一般以計算證明題的形式考查；圓的知識與其他知識點如函數、方程等相結合的中考壓軸題將會占有非常重要的地位，另外與圓有關的實際應用題，閱讀理解題，探索存在性問題仍是中考的熱門考題.

●精讀知識要點

1.圓的基本元素

（1）圓心和半徑：圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小.

（2）弦：連結圓上任意兩點的線段叫做弦.直徑是經過圓心的弦，是圓中最長的弦.

（3）弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧.小于半圓的弧叫做劣弧，大于半圓的弧叫做優弧.

（4）圓心角和圓周角：頂點在圓心的角叫做圓心角；頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.

2.圓周角與圓心角

（1）圓周角與圓心角：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.性質的驗證，運用了“分類”的思想.

（2）圓周角與半圓或直徑：半圓或直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是圓的直徑. 一般地，若題目無直徑，需要作出直徑.

（3）圓周角與同弧或等弧：同弧或等弧所對的圓周角相等；在同一圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等.

3.圓的對稱性

（1）圓是中心對稱圖形，圓心是它的對稱中心，圓的旋轉不變性使它具有其他中心對稱圖形所沒有的性質，即圓心角、弧、弦之間的關系，概括為：在一個圓(同圓或等圓)中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等.

（2）圓也是軸對稱圖形，經過圓心的任意一條直線都是它的對稱軸.于是就有了垂直于弦的直徑的性質：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

4.點和圓的位置關系

（1）如點在圓外，則有性質d＞r；若d＞r，則可判定出點在圓外.

（2）如點在圓上，則有性質d=r；若d=r，則可判定出點在圓上.

（3）如點在圓內，則有性質d＜r；若d＜r，則可判定出點在圓內.

其中，d是點到圓心的距離，r是圓的半徑.

5.直線和圓的位置關系

（1）直線和圓的位置關系判定與性質：

①當直線l和⊙O相離時，則有性質d>r；若d>r，則直線l和⊙O相離.

②當直線l和⊙O相切時，則有性質d=r；若d=r，則直線l和⊙O相切.

③當直線l和⊙O相交時，則有性質d＜r；若d＜r，則直線l和⊙O相交.

其中l表示直線，d是⊙O與直線l的距離，r是⊙O的半徑.

（2）判定切線的方法有3種:

①利用切線的定義:與圓有唯一公共點的直線是圓的切線.

②與圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線.

③經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

（3）切線的5個性質:

①切線和圓只有一個公共點；

②切線到圓心的距離等于圓的半徑；

③切線垂直于過切點的半徑；

④經過圓心垂直于切線的直線必過切點；

⑤經過切點垂直于切線的直線必過圓心.

（4）切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分這兩條切線的夾角.

切線長定理是圓的對稱性的體現，它為說明線段相等、角相等、弧相等、垂直關系提供了理論依據.

（5）內接外切多邊形: 經過多邊形各頂點的圓叫做多邊形的外接圓，外接圓的圓心叫做多邊形的外心，這個多邊形叫做這個圓的內接多邊形；和多邊形的各邊都相切的圓叫做多邊形的內切圓，這個多邊形叫做圓的外切多邊形.

（6）三角形內心外心：三角形外接圓的圓心叫三角形的外心，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點；三角形內切圓的圓心叫做三角形的內心，三角形的內心是三角形三條角平分線的交點，它到三邊的距離相等.

6.圓和圓的位置關系

設兩圓半徑分別為R和r，圓心距為d，那么:

（1）兩圓外離，可得d＞R+r；

（2）兩圓外切，可得d=R+r；

（3）兩圓相交，可得R-r＜d＜R+r（R≥r），

（4）兩圓內切，可得d=R-r（R＞r）；

（5）兩圓內含，可得d＜R-r（R＞r）.

相交兩圓的性質：相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦.

相切兩圓的性質：相切兩圓的連心線經過切點.

7.關于弧長、扇形面積、圓錐側面積全面積的計算

已知⊙O半徑為R，則圓面積公式為：S=πR2；圓周長公式為：C=2πR；n°圓心角的弧長公式是：l=180/nπR.

在應用弧長公式進行計算時，要注意公式中n的意義， n表示1°圓心角的倍數，它是不帶單位的.若設⊙O半徑為R， 圓心角為n°的扇形的面積公式是：S=180/nπR²或S=1/2 lr.

圓錐的側面積就是弧長為圓錐底面的周長、半徑為圓錐的一條母線的長的扇形面積，而圓錐的全面積就是它的側面積與它的底面積的和.

●相關思想方法

（1）遇到直徑時，一般要引直徑上的圓周角，將直徑這一條件轉化為直角的條件.

（2）遇到有切線時，一般要引過切點的半徑，以便利用切線的性質定理；或連結過切點的弦，以便利用弦切角定理.

（3）遇到過圓外一點作圓的兩條切線時，常常引這點到圓心的連線，以便利用切線長定理及其推論.

（4）遇兩圓相交，要添加公共弦，或者連心線，特別是公共弦，它在相交兩圓中起著橋梁作用.

（5）遇兩圓相切，一般要引兩圓的公切線，如果兩圓外切，常引內公切線； 如果兩圓內切，就引外公切線， 公切線的引出構造了弦切角，利用弦切角便可把兩圓的圓周角聯系起來.

（6）求周長和面積要注意利用割補思想.

（7）圓柱和圓錐的側面展開圖是研究“化曲為直”的一條重要的思想方法.

●掌握基本題型

一、圓的性質的考查

基礎知識鏈接：（1）垂徑定理；（2）同圓或等圓中的圓心角、弦、弧之間的關系.

例1（2007年昆明考題）如圖1，已知AB是⊙O的一條弦，⊙O的半徑為5，OC⊥AB于D，交⊙O于點C，且CD=2，那么AB的長為（）.

Ａ.4Ｂ.6Ｃ.8Ｄ.10

分析：連結OA，由題意，由于OC⊥AB于D，所以只要求出AD就可以了.因為CD=2，半徑為5，所以OD=3，根據勾股定理解得AD=4，根據垂徑定理知AD=BD，由此得AB=8 .故選C.

點評：本題綜合考查了利用垂徑定理和勾股定理求解問題的能力.運用垂徑定理時，需添加輔助線構造與定理相關的“基本圖形”.

點評：本題主要考查了垂徑定理和勾股定理，此題是開放性試題，要求我們大膽地去猜想論證.本題還需要我們運用方程思想把幾何問題轉化為代數問題求解.

（待續）

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