中考四邊形新題型例析

在新課標(biāo)教育理念下，一些為考查同學(xué)們對(duì)知識(shí)的把握能力而精心設(shè)計(jì)的中考題頻頻出現(xiàn)，已成為中考的一大亮點(diǎn).現(xiàn)就2007年中考試題中有關(guān)四邊形的新題型精選幾例，析解如下：

例1 （江西省考題） 如圖1，在正六邊形ABCDEF中，對(duì)角線AE與BF相交于點(diǎn)M， 與BD相交于點(diǎn)N．

（1）觀察圖形，寫出圖中兩個(gè)不同形狀的特殊四邊形；

（2）選擇（1）中的一個(gè)結(jié)論加以證明．

分析：這是一道結(jié)論開放型試題，特點(diǎn)是條件給定，結(jié)論不唯一.解題時(shí)要從題設(shè)出發(fā)，認(rèn)真分析圖形特征和性質(zhì)， 正六邊形ABCDEF的各邊相等，每個(gè)內(nèi)角相等且都等于120°，從而得到△ABF、△AEF、△BCD、△CDE等都是等腰三角形，∠BAF=∠AFE=∠BCD=∠CDE=120°，則∠ABF=∠AFB=∠FAE=∠FEA=30°，再經(jīng)過(guò)進(jìn)一步分析推理可以得到BD⊥AB，EA⊥AB，BF⊥BC，CE⊥BC，BD∥AE，BF∥CE，BM=BN=EN=EM等等.

解：（1）根據(jù)已知條件，通過(guò)觀察分析，可以得到不同形狀的特殊四邊形有:矩形ABDE，矩形BCEF，或菱形BNEM或直角梯形BDEM，AENB等；

（2）以選擇ABDE是矩形為例，

證明：∵ABCDEF是正六邊形，

∴△ABF、△AEF是等腰三角形， ∠BAF=∠AFE=120°，

∴∠EAF=30°，

∴∠EAB=∠FAB-∠FAE=90°，

同理可證∠ABD=∠BDE=90°，

∴四邊形ABDE是矩形．

例2（青島市考題）將平行四邊形紙片ABCD按如圖2方式折疊，使點(diǎn)C與A重合，點(diǎn)D落到D'處，折痕為EF．

（1）求證：△ABE≌△AD'F；

（2）連接CF，判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形，證明你的結(jié)論．

分析：從題設(shè)條件和圖形出發(fā)，通過(guò)動(dòng)手操作，根據(jù)折疊后角度和線段的大小不變.即AE＝EC，∠1＝∠2．再由AD∥BC，則∠2＝∠3．從而∠1＝∠3，得到AE=AF.則有AF=EC.四邊形AECF是平行四邊形，又因?yàn)锳E=AF，故四邊形AECF是菱形.

解：（1）略；

（2） 四邊形AECF是菱形．

由折疊可知：AE＝EC，∠1＝∠3，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴ AD∥BC．

∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，

∴ AF＝AE，

∵ AE＝EC，

∴ AF＝EC，

又∵AF∥EC，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵AF＝AE，

∴四邊形AECF是菱形．

例3 (資陽(yáng)市考題) 如圖3，已知P為正方形ABCD的對(duì)角線AC上一點(diǎn)（不與A、C重合），PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F.

（1）求證：BP=DP；

（2）如圖若四邊形PECF繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中是否總有BP=DP ？若是，請(qǐng)給予證明；若不是，請(qǐng)用反例加以說(shuō)明；

（3） 試選取正方形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)，分別與四邊形PECF的兩個(gè)頂點(diǎn)連結(jié)，使得到的兩條線段在四邊形PECF繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中長(zhǎng)度始終相等，并證明你的結(jié)論 .

分析：這同樣是一道結(jié)論探索型試題， 探索是哪兩條線段在四邊形PECF繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中長(zhǎng)度始終相等.AC為對(duì)角線，根據(jù)正方形的對(duì)稱性，只有選擇B、D分別與E、F連結(jié)，才有可能使得到的兩條線段在四邊形PECF繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中長(zhǎng)度始終相等.再?gòu)念}設(shè)條件和圖形出發(fā)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)后角度和線段的大小不變，即∠BCE=∠DCF，CE=CF分析推理，得出結(jié)論.

解：（1）略；

（2）如圖4不是總成立.當(dāng)四邊形PECF繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到BC邊上時(shí)，DP >DC>BP，此時(shí)BP=DP不成立.

（3）如圖5連接BE、DF，則BE與DF始終相等.

在圖3中，因?yàn)辄c(diǎn)P為正方形ABCD對(duì)角線AC上的點(diǎn)，

則∠ACB=∠ACD，又PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F，

∴PE=PF，則四邊形PECF為正方形，

∴CE=CF，

在圖5中，在△BEC與△DFC中，BC=DC，∠BCE=∠DCF=90°-∠BCP，CE=CF，

∴△BEC≌△DFC，

∴BE=DF .

結(jié)論開放或探索型試題，大都是條件給定，而結(jié)論不確定或答案不唯一的問(wèn)題，解決這類問(wèn)題的基本思路是：從題設(shè)出發(fā)，認(rèn)真分析圖形特征和性質(zhì)，根據(jù)條件，聯(lián)想定理，尋求結(jié)論.