兩圓相減為什么是直線

樓文勝

浙江電大富陽學院 (311400)

一、問題的提出

在普通高中課程標準實驗教科書《數學》(2)“圓與圓的位置關系”中有一個例題：已知圓C1:x2+y2+2x+8y-8=0，圓C2：x2+y2-4x-4y-2=0，試判斷圓C1與圓C2的關系.教材的解法為：

圓C1與圓C2的方程聯立，得到方程組x2+y2+2x+8y-8=0 (1)

x2+y2-4x-4y-2=0 (2)(1)-(2)，得x+2y-1=0(3)，由(3)得y=x-12，代入(1)，并整理得x2-2x-3=0(4)，方程(4)根的判別式△=(-2)2-4×1×(-3)>0.

所以方程(4)有兩個不相等的實數根.也即方程組有兩個解，所以兩個圓相交.

此解法的旁注中，提出了如下思考問題：“畫出圓C1與圓C2以及方程(3)表示的直線，你發現了什么?你能說明為什么嗎?”

筆者在教學中發現：學生能夠發現(3)是過兩圓交點的直線，也能說明理由.但當筆者按照教參的要求提出：“當兩圓相切、相離或內含時，兩圓方程相減為什么還是直線方程?這條直線與兩圓在圖像特征上存在什么關系?同心時相減為什么又不是直線方程?”，讓學生在課外作為研究性學習的課題，基本上學生都不能完整解決這一課題.筆者向同行們請教，大家均說沒有深入思考過這一問題，說明旁注沒有引起數學教師們的重視.教參對各個習題均給出了解答，但對上述這么有意義的問題卻沒有給出參考答案或提示，筆者認為這實在是一個遺憾，所以不惴淺薄，在這兒給出一個解答，供大家參考.

二、問題的探究

右圖是例題的圖示，A、B是兩圓的交點，如設A(x1,y1),B(x2,y2)，則其坐標滿足(3)是易于說明的，但是(3)所代表的直線還有不少點，其含義是什么呢?其實上面(1)、(2)組成的方程組，相減得到(3)并不是等價的，與(3)等價的應該是(1)、(2)兩式的右邊同時加上一個常數k，即x2+y2+2x+8y-8=k (1)

x2+y2-4x-4y-2=k (2)加k的幾何意義是C1的半徑變為25+k，C2的半徑變為10+k，這樣k一變就得到一組圓，如有兩個交點就在(3)所表示的直線上，讓k變動，就能得到很多交點，這些交點構成直線(3).

同樣的理由可以說明為什么相離兩圓的方程相減還是直線方程.不失一般性，我們可以舉兩個簡單的圓方程加以說明：x2+y2=1(5),(x-3)2+y2=1(6)，易知兩圓相離，(5)-(6)得x=32(7),(7)與(5)、(6)式并不等價，要等價在(5)、(6)兩式右邊可以同加一個常數k，如k為正，則(5)(6)兩圓的半徑同時擴大，當擴大到一定程度兩圓相切，進而相交，這些交點構成了直線(7).因為兩圓一開始相離，半徑擴大后才相交，所以交線肯定在一開始兩圓的外部，由圓的對稱性，相減所得直線必與兩圓的連心線垂直.這兒需要說明的是，如一開始兩圓的半徑不等，則兩圓的半徑也不是相同數量擴大的.

可以完全類似的說明相切、內含兩圓的方程相減也是直線方程.這兒再講一下為什么同心兩圓的方程相減得到的不是直線方程，如x2+y2=1,x2+y2=2，相減得0=1，這是因為半徑在擴大的過程中，兩圓始終不相交，當然也就不會出現交線了.

三、問題的結論與應用

由上面探究，我們可以得到一個初步結論：當兩圓相交時，兩圓方程相減得到方程所表示的直線是兩圓交點的連線；當兩圓相切時，兩圓方程相減得到方程所表示的直線是過兩圓交點的兩圓的公切線；當兩圓內含時，兩圓方程相減所得的方程所表示的直線在兩個圓的外部，且與兩圓的連心線垂直(延長線)；當兩圓相離時，兩圓方程相減所得的方程所表示的直線在兩個圓外部，且與兩圓的連心線垂直.

從上面初步結論可知：兩圓相減所得直線與連心線交于兩圓變化過程中的相切位置.由此，若兩圓方程已知，我們可以定量的知道交點的位置.

設圓C1的方程：(x-x1)2+(y-y1)2=R2，圓C2的方程為(x-x2)2+(y-y2)2=r2,兩圓的圓心距為d,如兩圓外離，且方程右邊加k后相切，則R2+k+r2+k=d,解得r2+k=d2+r2-R22d,R2+k=d2+R2-r22d.所以直線與連心線(小圓圓心為起點、大圓圓心為終點)交于定比為d2+r2-R2d2+R2-r2的分點處，當兩圓外切時結論仍成立.

設圓C1的方程：(x-x1)2+(y-y1)2=R2，圓C2的方程：(x-x2)2+(y-y2)2=r2，兩圓的圓心距為d，如兩圓內含時(不同心)，如方程右邊加k后相切，則R2+k-r2+k=d，同理可求得直線與連心線(小圓圓心為起點、大圓圓心為終點)交于定比為d2+r2-R2d2+R2-r2(這時小于0)的分點處，當兩圓內切時結論仍成立.

綜上，兩圓方程相減所得直線方程與連心線(小圓圓心為起點、大圓圓心為終點)垂直交于定比為d2+r2-R2d2+R2-r2的分點處.

應用舉例

例 從圓(x-1)2+(y-1)2=1外一點P(2，3)，向該圓引切線PA、PB，切點為A，B，求過A、B的直線方程.

解法一：如設已知圓的圓心為C，根據幾何性質知，切點是以PC為直徑的圓與圓C的交點，以PC為直徑的圓方程為(x-1)(x-2)+(y-1)(y-3)=0，聯立

(x-1)(x-2)+(y-1)(y-3)=0 (1)

(x-1)2+(y-1)2=1 (2)

(1)-(2)得x+2y-4=0，即為AB的直線方程.

解法二：因為PA=PB，所求直線AB可以看作以P為圓心、以PA為半徑的圓與圓C相減所得，易知以P為圓心、PA為半徑的圓方程是(x-2)2+(y-3)2=4，與圓C方程聯立得(x-2)2+(y-3)2=4,

(x-1)2+(y-1)2=1,相減得x+2y-4=0，即為AB所在直線方程.