妙用不等式“Ａｘ＋Ｂｙ≥（Ａ＋Ｂ）２ｘ＋ｙ”智取一類最值

趙煒通

北京市十一學校高三(1)班 (100039)

各類資料都有如下一類二元極值：

題目1 已知x,y∈R+，且1x+4y=1，求4x+9y的最小值；

題目2 已知x,y∈R+，且2x+9y=5，求2x+1y的最小值.

此類最值，我們老師采用如下方法，以題目1為例：

4x+9y=1?(4x+9y)=(1x+4y)(4x+9y)=40+9yx+16xy≥40+29yx?16xy=64，當且僅當9yx=16xy,

1x+4y=1,即x=4

y=163時，原式取得最小值64.

但我們同學在以后遇到這類題時，老是忘了“1=1x+4y”而使解題受阻，甚至出現如下的錯誤解法：∵1=1x+4y≥21x?4y，所以xy≥4,從而4x+9y≥24x?9y=12xy≥12×4=48.

錯因是：當且僅當1x=4y

4x=9y ① 時取等號，但方程組①無解.

有一次做題時受一道題目的啟發，我發現此類最值問題可用如下定理智取：

定理：設x,y,A,B∈R+，則Ax+By≥(A+B)2x+y，當且僅當xy=AB時取等號.

證明：∵Ax+By-(A+B)2x+y=(Ax-Bx)2xy(x+y)≥0,當且僅當Ay-Bx=0即xy=AB時，取等號，證畢.

這個結論啟發我們，只需要將左邊的分式變形，湊出右邊的分母“x+y”，使“x+y”恰好是已知的條件(定值)，就可以巧妙的求出最值，舉例說明如下：

例1 見上面題目1.

分析：將4x+9y變形為41x+394y，再用定理湊出定值“1x+4y=1”.

解：4x+9y=41x+364y≥(4+36)21x+4y=64,當且僅當1x4y=436,

1x+4y=1,即x=4

y=163時，取得最小值64.

例2 見上面題目2.

分析：將2x+1y變形為42x+99y，再用定理湊出定值“2x+9y=5”進而獲解.

解：2x+1y=42x+99y≥(4+9)22x+9y=5,當且僅當2x9y=49,

2x+9y=5,即x=1

y=13時，取得最小值5.

例3 求函數f(x)=33-2x+22+3x(0

分析：將33-2x+22+3x變形為99-6x+44+6x，再用定理湊出定值“(9-6x)+(4+6x)=13”進而獲解.

解：f(x)=99-6x+44+6x≥(9+4)2(9-6x)+(4+6x)=2513.當且僅當9-6x4+6x=94，即x=15時，函數f(x)┳钚≈氮=2513.

推論 設常數a,b,c,d,A,B∈R+，則函數f(x)=Aa+bx+Bc-dx(-ab

例4 求函數y=32玸in2θ+1+83玞os2θ+2(θ∈R)的最小值.

分析：注意到“玸in2θ+玞os2θ=1”，將32玸in2θ+1+83玞os2θ+2變形為96玸in2θ+3+166玞os2θ+4，用定理湊出定值“(6玸in2θ+3)+(6玞os2θ+4)=13”.

解：y=96玸in2θ+3+166玞os2θ+4≥(9+16)2(6玸in2θ+3)+(6玞os2θ+4)=4913,當且僅當6玸in2θ+36玞os2θ+4=916,即玹an2θ=34時，y┳钚≈氮=4913.

推論 設常數a,b,c,d,A,B∈R+，則函數f(θ)=Aa玸in2θ+b+Bc玞os2θ+d(θ∈R)的最小值為(cA+aB)2ac+bc+ad.

例5 已知x>0,y>0,x2+y3≤4,求2x+27y的最小值.

分析：將2x+27y變形為1x2+9y3，再用定理將“x2+y3”放大為4.

解：2x+27y=1x2+9y3≥(1+9)2x2+y3≥164=4.當且僅當x2y3=19

x2+y3=4即x=2

y=9時，取得最小值4.

例6 設x>y>z.求證：1x-y+4y-z+9z-x≥0.

分析：∵x-y>0,y-z>0，只需證明：“1x-y+4y-z的最小值為9x-z”即可(假設x-z是定值)這用定理易得.

證明：∵1x-y+4y-z≥(1+4)2(x-y)+(y-z)=9x-z,所以1x-y+4y-z+9z-x≥0.當且僅當x-yy-z=14，即2x+z=3y時取等號.

從上面的例子我們看到：例1，例2，例5是一類條件最值，湊定值時，要依據所給的條件來“湊定值”；例3，例4必須挖掘“隱含條件”如：玸in2θ+玞os2θ=1,(a+bx)+(c-bx)=a+c等方能湊效；例6說明有些證明題可以轉化為求最值題來解決!