關于“乘方”與“冪”的商榷

人教版教材和教參是這樣定義和說明乘方和冪的：

求n個相同因數的積的運算，叫做乘方，乘方的結果叫做冪(power).……，當an看作a的n次方的結果時，也可讀作的a的n次冪.

(教材，[1]中第51頁)

應當注意，乘方是一種運算，冪是乘方運算的結果.

(教參，[2]中第51頁)

我們認為這種說法不妥，乘方和冪沒有什么不同，有以下理由.

其一，在我們的習慣表達中，從來都是把乘方和冪混用的. 例如，我們說“2的4次方”，也說“2的4次冪”. 特別奇怪的是，教材的編寫者對這種現象給了一個非常牽強附會的解釋：當an看作a的n次方的結果時，也可讀作的a的n次冪. 如果是這樣的話，我們經常說“16是2的4次方”就錯了，這里乘方顯然指的就是運算結果. 另一方面，不僅乘方是運算，冪也是運算，我們也常說冪運算. 事實上在英文中，乘方和冪用的就是同一個詞——power.

其二，從數學抽象的角度講，運算以及運算結果兩者之間并無不同. 在現代數學中，我們經常需要把過程和結果統一起來. 例如，“映射”一詞可看成是一個過程的概念，但在數學中嚴格的抽象定義又可以這樣給出：

設A，B是兩個集合， A×B的一個子集f稱為映射，如果滿足：若(x₁，y₁)∈f， (x₁，y₂)∈f， 則y₁=y₂.

很顯然，這個抽象定義又是把“映射”看成了結果. 這兩種關于“映射”的認識表面看起來雖然不同，其實其本質是一致的. 由于“運算”可以看作是一種映射，因此我們把“運算”不管是看作為“過程”還是“結果”，其本質也沒什么不同. (更詳細的討論見[3]). 事實上，數學中的概念不管其來源背景如何(也許它是某個過程)，都可以定義為一個集合(其實就是結果)，這也是集合論能成為現代數學基礎的一個重要原因.

其三，退一步講，即便乘方和冪真有點什么細微的不同，我們是否真的需要在我們的教材和教參中一再強調?事實上，即便一個數學學習者沒能辨析兩者的不同，也根本不妨礙他對其數學本質的理解. 在數學教育實踐上，類似的文字游戲帶給數學教育的傷害可謂是刻骨銘心，它只會把數學變成了冰冷的教條，讓學生敬而遠之. 按照“淡化形式，注重實質”[4]的精神，這種文字游戲可以休矣.

總之，在教學中把乘方和冪不分開是為了簡單，分開了反而不好. 因此我們認為，混用乘方和冪不僅是必要的，也是必須的. 這樣做，既符合現代數學的精神，又可以把學生的精力更多地引導到對于數學本質的理解上來；基于此，乘方和冪可以直接這樣定義：求n個相同因數的積的運算，叫做乘方或冪.

參考文獻

[1] 課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.義務教育課程標準實驗教科書·數學(七年級上冊)[M].北京：人民教育出版社，2005.49.

[2] 課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.義務教育課程標準實驗教科書·數學(七年級上冊)教師教學用書[M].北京：人民教育出版社，2004.51.

[3] 錢佩玲，邵光華.數學思想方法與中學數學[M].北京：北京師范大學出版社，1999.217-221.

[4] 陳重穆，宋乃慶.淡化形式，注重實質——兼論《九年義務教育全日制初級中學數學教學大綱》.數學教育學報[J]，1993，2(2)：4-9.

作者簡介：熊惠民(1971-)，男，湖北漢川人，博士，講師.