巴特沃斯數字陷波濾波器的設計

摘 要：隨著數字技術的發展，數字濾波器在許多領域得到廣泛的應用。研究一種在Matlab語言環境下設計IIR數字陷波濾波器的方法，在數字陷波濾波器設計過程中，先進行模擬低通濾波器的設計，然后進行模擬低通/模擬帶阻濾波器轉換，最后采用雙線性變化法將模擬陷波濾波器轉化成數字陷波濾波器。提出一種用所有零點和極點來表達數字陷波器傳遞函數的方法，同時給出以巴特沃斯模擬低通為原型設計數字陷波濾波器的程序。

關鍵詞：無限沖激響應;巴特沃斯濾波器;數字陷波濾波器;Matlab;雙線性變換

中圖分類號：TN713 文獻標識碼：B 文章編號：1004373X(2008)1812903

Design of Digital Butterworth Notch Filters

ZHANG Weixi

(Jiangsu Teachers University of Technology，Changzhou，213001，China)

Abstract：Along with the development of digital technology，digital filters are widely used in many fields，this paper introduces how to design a IIR digital notch filters in matlab environment.The design of digital notch filters can be achieved through three steps:firstly，the design of analog lowpass filter; secondly，it is analog lowpass to analog band stop filter conversion;at last，using the bilinear transformation make the analog notch filters change into digital notch filters.The paper also introduces how to design the transfer function of the digital notch filters using all the zeros and farthest points at the same time，it also introduces the program of the digital notch filters under Butterworth analog lowpass prototype.

Keywords：infinite impulse response;Butterworth filters;digital notch filter;Matlab;bilinear transformation

1 引 言

當帶阻濾波器的阻帶很窄時，被稱為陷波濾波器^［1］，又稱點阻濾波器。一個理想點阻濾波器的頻率響應是要在消除的信號頻率點，其值等于零; 而在其他頻率處，其值不為零，且要等于1。

理想的陷波濾波器的頻率響應式為：|H(ejω)|=1，ω≠ω0

0，ω=ω0(1)

理想的陷波濾波器的幅頻特性如圖1所示。

圖1 陷波濾波器的幅頻特性陷波濾波器的設計是以模擬濾波器為原型，通過一定變換轉換為數字濾波器。陷波濾波器的設計方法有2種：

(1) 依托模擬低通為設計原型，利用模擬頻率帶阻變換法，再利用雙線性變換法將前面所設計的帶阻濾波器數字化；

(2) 在頻域進行直接設計的z平面零極點法。

2 原 理

現以巴特沃斯低通模擬濾波器為設計的原型，歸一化的巴特沃斯模擬低通的傳遞函數為：Ha(p)=1∏N－1k=0(p－pk) k=0，1，…，N-1

由模擬濾波器的頻率轉換又知道模擬低通轉化為模擬帶阻的變換關系為：p = SBS2 + Ω20(2)式（2）中，p為模擬原型拉普拉斯變量（p=σ+jw）；S為模擬帶阻的原型拉普拉斯變量（S=σ+jw）；Ω0為模擬帶阻濾波器的幾何中心頻率；B為模擬阻帶的帶寬。

將式(2)代入到歸一化的巴特沃思低通傳遞函數，得到模擬帶阻濾波器的傳遞函數Ha(S)：Ha(S) = 1∏N-1k = 0 (SBS2 + Ω20-Pk )

通過雙線性變換法將得到模擬帶阻濾波器的傳遞函數進行數字化：S=2fs·z－1z+1=2T·z－1z+1(3)式（3）中T為采樣周期；fs為采樣頻率。

H(z)=［(4+Ω20T2)Z2+(2Ω20T2－8)Z+(Ω20T2+4)］N∏N－1k=0［(4+Ω20T2+2BT)Z2－Pk(2Ω20T2－8)Z－(Ω20T2Pk+4Pk+2BT)］將上述式子的分子、分母均分別因式分解。分子表達式:［(4+Ω20T2)Z2+(2Ω20T2－8)Z+(Ω20T2+4)］N中，a=4+Ω20T2，b=2Ω20T2－8，c=Ω20T2+4所以分子上述表達式的分子化簡為:Z－(8－2Ω20T2)±(2Ω20T2－8)2－4(4+Ω20T2)22(4+Ω20T2)N用同理去化簡分母，就得到用零、極點形式來表達的數字陷波濾波器的傳遞函數式子，具體表述如式（4）所示：

H(z)=Z－(8－2Ω20T2)±(2Ω20T2－8)2－4(4+Ω20T2)22(4+Ω20T2)N∏N－1k=0Z－Pk(2Ω20T2－8)±［Pk(2Ω20T2－8)］2－4(4+Ω20T2+2BT)(Ω20T2Pk+4Pk+2BT)2(4+Ω20T2+2BT)（4）

從式（4）中，可以看出該陷波器系統由2N個零點、2N個極點構成，該陷波器的增益為1。零點分別是N個(8－2Ω20T2)+(2Ω20T2－8)2－4(4+Ω20T2)22(4+Ω20T2)。

可以看出這2N個零點假若全部寫入到一個數組中，在數值上其實只等于2個值，前N個零點都等于一個值，后N個零點等于都另外一個值。

而陷波器的極點也有2N個，但是不同于零點的是它們在數值上均不相等。這2N個極點的值是隨著Pk值的變化而變化的。前N個極點分別為：

Pk(2Ω20T2－8)+［Pk(2Ω20T2－8)］2－4(4+Ω20T2+2BT)(Ω20T2Pk+4Pk+2BT)2(4+Ω202T2+2BT)后N個極點分別為：Pk(2Ω20T2－8)－［Pk(2Ω20T2－8)］2－4(4+Ω20T2+2BT)(Ω20T2Pk+4Pk+2BT)2(4+Ω202T2+2BT)其中，Pk=ejπ(12+2k+12N) ，k=0，1，…，N-1。

3 方 法

有了數字陷波濾波器的傳遞函數的表達式，只需再推導出設計這樣的陷波濾波器的階數即可，下面就給出陷波器階數的推導過程^［2］。

假設給定數字陷波濾波器的技術參數：陷波頻率點foo。這里沒有給出阻帶和通帶的上下限頻率，所以不妨設出以下4個頻率點的參量以及2個衰減系數^［3］：

阻帶下限頻率fsl；阻帶上限頻率fsh；通帶下限頻率fpl；通帶上限頻率fph通帶衰減系數ap；阻帶衰減系數as。首先，一般的設計步驟將數字帶阻濾波器的技術指標通過頻率預畸變轉化為模擬帶阻濾波器的技術指標：Ωsl=2Ttan2πfsl2fs=2Ttanπfslfs

Ωsh=2Ttan2πfsh2fs=2Ttanπfshfs

Ωph=2Ttan2πfph2fs=2Ttanπfphfs

Ωpl=2Ttan2πfpl2fs=2Ttanπfplfs設阻帶中心頻率：Ω0=Ωpl·Ωph=2Ttanπfphfstanπfplfs阻帶寬度為：B=Ωph－Ωpl=2Ttanπfphfs－tanπfplfs其次，將以上邊界頻率對阻帶寬度B進行歸一化：η=ΩB

具體計算過程如下所示：ηsh=ΩshB=tanπfshfstanπfphfs－tanπfplfs

ηph=ΩphB=tanπfphfstanπfphfs－tanπfplfs

ηpl=ΩplB=tanπfplfstanπfphfs－tanπfplfs

η0=ηphηpl=tanπfphfstanπfplfstanπfphfs－tanπfplfs所以：λsp= ηsh η2sh -η20=tanπfph fs-tanπfpl fs ·tanπfsh fstanπfsh fs2-tanπfph fstanπfpl fs

ksp=100.1ap－1100.1as－1

最后，將上述所有結果代入到式（5），計算出原型濾波器的階數N。n=－lg ksplg λsp（5）

顯而易見，計算的n值不一定是正整數，所以原型濾波器原型的階數N為大于n的最小正整數，在Matlab中用Ceil語言表示。

綜上所述，原型濾波器的階數N可用下式表達^［2］：N=Ceil(log100.1ap－1100.1as－1logtanπfphfs－tanπfplfstanπfshfstanπfshfs2－tanπfphfstanπfplfs)所以數字陷波濾波器的階數為N值的2倍。

4 結 語

從上面的分折可以看出，這種設計方法具有以下幾個特點：

（1） 以巴特沃斯模擬低通為原型所設計的所有的數字陷波濾波器系統的增益為1；

（2） 這種數字陷波器不管在什么樣的情況，它的2N個零點因為具有重復性；

（3） 數字陷波器的階數都是巴特沃斯模擬低通原型階數的2倍；

（4） 所設計的數字陷波濾波器的2N個極點的值是隨著巴特沃斯模擬低通原型的歸一化的極點的值變化而變化的。

參 考 文 獻

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［6］陳曉勇.IIR數字陷波器的設計及FPGA實現\\.中國科技信息，2006（22）：8385.

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作者簡介 張維璽 江蘇技術師范學院教授，校學術委員會副主任，校重點學科《電路與系統》帶頭人。主要從事電子信息工程的教學和科研工作。

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