計數問題常見錯誤例析

戴三紅

計數問題是高中數學的重要問題之一，排列組合是特殊的計數問題，也是高考考查的經典內容之一，、通常以選擇題或填空題的形式出現，有深厚的實際應用背景，此類問題概念性強，思考方法和解題技巧特殊，掌握“分步相乘、分類相加、有序排列、無序組合”的原理和方法，并能加以靈活運用是解決問題的關鍵，下面稍舉幾例，幫助同學們加深對此原理和方法的理解，避免出現類似錯誤。

一、分組重復

例1某校安排5個班到4個工廠進行社會實踐，每個班去1個

工廠，每個工廠至少安排1個班，不同的安排方法共有__________種，(用數字作答)

錯解1：不同的安排方法共有A^5/4=120種。

錯解2：先從5個班中選出4個班，每個班去1個工廠，有A^5/4=120種方法；再將剩下的1個班隨機安排去4個工廠中的某1個，這樣不同的安排方法共有120×4=480種，

錯因：錯解1是一種比較典型的錯誤，原因是很多同學碰到此類問題時，沒有進行深入細致的分析，直接套用排列數或組合數公式，對于錯解2，5個班到4個工廠去實踐，則必定有2個班去同一個工廠，對于這2個班，無論先安排哪一個去工廠，結果都是一樣的，屬同一種安排方法，而錯解2誤將2個班按不同順序去同一個工廠的情況看作是不同的，當作2種安排方法，導致多解的錯誤，因此，應用分步計數原理時，要保證所分的步驟之間是有先后順序差異的。

正解1(以班級為研究對象)：先將5個班分成4組，有C²₅種不同的分法；再將4個組安排到4個工廠進行社會實踐，有A^4/4種不同的方法，由分步計數原理得，不同的安排方法共有c²₅·A⁴₂=240種，

正解2(以工廠為研究對象)：由題意可知，必有2個班到同1個工廠進行社會實踐，則可先將其中的2個班安排到某個工廠進行社會實踐，有c²₅種不同的安排方法；再將剩下的3個班安排到剩下的3個工廠，有A³_{2種不同的安排方法，由分步計數原理得，不同的安排方法共有c²3·c¹3A³2=240種。}

點評：解題時一般可以或從元素(本例中的班級)，或從位置(本例中的工廠)的角度來思考問題，應避免出現同時從兩個角度思考問題而導致混亂出錯的情況，

例2某校高二年級共有6個班級，現從外地轉入4名學生，要分到該年級的2個班級中，每班分到2名，則不同的分法種數為

(A)A^6/2c^4/2

(B)2/1 A^6/2c^4/2

(c)A^6/2A^4/2

(D)2AA^5/2

錯解：先將4名學生平均分成2組，有cA^4/2種分法；再將這2組同學分別安排到6個班級中的2個，有AA^6/2種安排法，由分步計數原理得，不同的分法種數為AA^6/2CA^4/2選A

錯因：這是涉及平均分組的問題，分出來的各組是平等的，沒有先后順序的差別，錯解正是忽視了這一點，重復進行分組，導致多解，

正解：分兩步進行，先將轉入的4名學生平均分成2組，有4/1C^4/2種分法；再將這2組同學分別安排到6個班級中的2個，有AA^6/2種安排法_由分步計數原理得，不同的分法種數為2/1AA^6/2CA^4/2選B-

點評：平均分組問題是排列組合中的難點之一，同學們在碰到分組問題時應首先區分是平均分組還是非平均分組，將mn(m.NEN)個不同的元素平均分成m組的分法有2種，

三、分類情形不全面

例3某禮堂的主席臺有2排座位，前排11個座位，后排12個座位，現安排2人就座，規定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不能左右相鄰，那么不同的坐法種數是

(A)334

(B)346

(C)350

(D)363

錯解1：如果安排2人分別在前后2排就座，有8x12xA~=192種不同的坐法；如果安排2人都在前排就座，有4x4xAA^2/2=32種不同的坐法；如果安排2人都在后排就座，有A²₁₁=110種不同的坐法，

由分類計數原理知，符合要求的不同的坐法種數是192+32+110=334種，選A，

錯解2：若不考慮2人是否相鄰，有A²₂₀=380種不同的坐法，2人相鄰的坐法：都在前排左側和都在前排右側的坐法各有3種，都在后排的坐法有11種，所以符合要求的坐法種數是380-3-3-11=363種，選D，

錯因：錯解1從正面人手考慮符合條件的情形，但當符合條件的情形較多時，容易遺漏某種情形，錯解1正是由于忽略了2人同在前排就坐且坐在中間3個空位同側的情形，才導致漏解，錯解2從反面人手，在所有情形中排除不符合條件的情形，不失為一個好思路，但錯解2在考慮不符合條件的情形時，卻忽略了2人相鄰時，再交換2人的位置又是一種不同的坐法，

正解1：如果安排2人分別在前后2排就座，有8×12xA²₂=192種不同的坐法，如果安排2人都在前排就座，有兩種情形：若2人分別坐在中間3個空位的兩側，有4x4xAA²₂=32種不同的坐法；若2人坐在中間3個空位的同側，有2xAA²₃=12種不同的坐法，如果安排2人都在后排就座，有A²₁₁=110種不同的坐法

由分類計數原理可知，符合要求的不同的坐法種數是192+32+12+110=346種，選B，

正解2：若不考慮2A是否相鄰，則共有A²⁰=380種不同的坐法，2人相鄰的情形：都在前排左側和都在前排右側的坐法各有3xA²₂=6種，都在后排的坐法有llxA²A₂=22種，所以符合要求的坐法種數是380-6-6-22=346種.選B.

點評：有關“相鄰與不相鄰”的問題是一類基本的排列組合應用問題，“捆綁法”與“插空法”是解決這類問題的常用方法，應能非常熟練地掌握和使用，“正難則反”是解決情形復雜的排列組合問題的基本策略之一，

例4某城市在中心廣場建造了一個花圃，花圃分為6個部分(見圖1)，現要在花圃中栽種4種不同顏色的花，每部分栽種1種顏色的花，且相鄰部分栽種的花的顏色不同，則不同的栽種方法有——種，(以數字作答)

錯解：第1部分可以栽種4種不同顏色的花；第2部分可以栽種3種不同顏色的花；第3，4，5，6部分各可以栽種2種不同顏色的花由分步計數原理得，不同的栽種方法有4×3×2A⁴=192種，

錯因：上述解法并不能保證第2部分與第6部分栽種的花的顏色是不同的，

正解：先在第1，2，3部分栽種3種不同顏色的花，有A=24種方法，

如果第5部分栽種與第1，2，3部分顏色不同的花，此時第4部分只能栽種與第2部分顏色相同的花，第6部分只能栽種與第3部分顏色相同的花，只有1種方法；如果第5部分栽種與第2部分顏色相同的花，此時第4部分只能栽種與第1，2，3部分顏色不同的花，第6部分能栽種與第1，2部分顏色不同的花，共有2種方法；如果第5部分栽種與第3部分顏色相同的花，此時第6部分只能栽種與第l，2，3部分顏色不同的花，第4部分能栽種與第1，3部分顏色不同的花，共有2種方法。

結合分步計數和分類計數原理可知，不同的栽種方法有24x(1+2+2)=120種。

點評：對綜合性的排列組合問題，只有做到分類分步合理、嚴密，才能做到“不重不漏”