對初中一道全國物理競賽題的思考

原題 把一個凸透鏡固定于薄壁玻璃筒中間，在凸透鏡的焦點F處放一點光源S，然后注入水，使水面處于光源S和凸透鏡之間，如圖1所示。為使凸透鏡折射后的光線是一束平行光線，則光源的位置應（ ）

A.應適當升高。 B.應適當降低。

C.應不動。D.無法確定。

原解題思路：假設沒有水，焦點處點光源發出的光線經凸透鏡折射后平行出射。根據光的可逆性原理，若一束平行光經凸透鏡折射后必會聚于焦點，即S所在的位置。注入水后，設想有一束平行光射向凸透鏡，經凸透鏡會聚后在水面處又一次折射，由折射定律可知，出射光線的會聚程度更強，其焦點的位置比此時的F點所在的位置要低，得知答案為B。

但筆者覺得不妥，在此首先討論一下焦距f與折射率n之間的關系。我們知道空氣的折射率為1，水的折射率為1.33，玻璃的折射率為1.5，當凸透鏡剛開始處于空氣中時，我們設焦距為f空；又若光線只在玻璃中傳播，則不發生折射，可認為它的焦距為無窮大。那么，當凸透鏡處于水中時，其焦距與處在空氣中時相比，如何變化呢？如圖2所示，我們借助f-n圖像來分析：

曲線1表示透鏡的焦距f隨周圍介質折射率n從1~1.5一直增大，而曲線2則在n=1~n=1.5之間的焦距f可能比在空氣中的焦距f空還要小，那么怎樣排除曲線2的可能性呢？我們可任作一平行于n軸的直線，與曲線2交于B、C兩點，設其對應的折射率為nb、nc，可知此時對應的焦距為同一值。由于周圍介質不同，折射率應對應不同的焦距，因此曲線2存在的可能性就排除了。所以，周圍介質的折射率n從1增加到1.5的過程中，其對應的焦距是不斷增大的，即曲線1的描述的情況是正確的。即透鏡處于n=1.33的水中時，與在空氣中相比，其對應的焦距變大了，我們設此時玻璃透鏡在水中的焦距為f*，為了便于分析，我們將圖2改為圖3所示。

說明：f空為透鏡在空氣中時的焦距；f*為透鏡在水中時的焦距，為了便于比較，我們把f空、f*畫在同一個圖上。且由上面的分析，可得：f*＞f空。今向玻璃筒中加水，當水面超過透鏡時，設水面距透鏡的距離為d，則由上圖分析可知，光線將在水面處發生二次折射，根據光的折射定律可知，則此時的折射角應大于入射角，我們設入射角為i1，折射角i2，并有i1

當i1 、i2較小時，有tani1=sini1，tani2=sini2。因為存在：n1sini1=n2sini2，所以tani1tani2=hf*-dhfn-d=sini1sini2；sini1sini2=fn-df*-d=n2n1。整理得：f*=n1n2(fn-d)+d。

當0＜d＜f*時，為清楚起見，圖3只畫了當d=d1和d=dn時的情況。設此時焦距分別為f1和fn。d1…dn是水面到透鏡距離的一系列值，則d1…dn所在的直線是互相平行的，那么在水中的光線MB與d1…dn所成的入射角均相同，為i1，則對應的折射角也相同，從而可知，經水面折射后的光線也是平行的。

當d＞f*時，焦距始終為f*。由原題意可知，是0＜d＜f*時的情況，此時對應的情況光線會聚點應在大于f空，小于f*的范圍內，那么與原題意結合起來，相對于光源原來的光源位置升高了。所以筆者認為A選項是正確的。

原解出錯的原因，主要是在不斷加水的過程中，沒有考慮凸透鏡周圍的介質由空氣變成了水，相應的焦距也變了。其實，由薄透鏡的焦距公式：f=1(nn0-1)(1r1-1r2，

也可以直接得知(其中r1、r2為透鏡兩個折射面的半徑，n為透鏡玻璃的折射率，n0為透鏡周圍介質的折射率)。當周圍介質由空氣變成水時，n0由11.33，f也相應的變大了。只要周圍介質的折射率n0小于透鏡材料的折射率n，以上結果總是正確的。