“追及相撞問題”解題方法的探討
2008-04-29 00:00:00鄭景華葉從希
物理教學探討 2008年15期
“追及問題”是對研究單個物體（或質點）運動的延續和拓展，這類問題常涉及的是兩個或兩個以上物體（或質點）在某段時間內發生的相關運動。兩物體在同一直線上運動所涉及的追及、相遇、相撞的問題，通常歸為追及問題。追及問題主要研究同向追及問題，同向追及問題的特征是兩個運動物體同時不同地（或同地不同時）出發作同向運動，在一定時間之內，后面的追上前面的物體。追及問題中的相撞問題是運動學中的一個難點問題，該類問題與生活實際聯系密切，是能力考查不可或缺的命題素材，應引起足夠的關注。分析該類問題需要學生有正確的時間和空間觀念（物體的運動過程總與時間的延續和空間位置的變化相對應），要求我們必須理解掌握物體的運動性質及規律，具有較強的綜合素質和能力。這類問題的求解方法多種多樣，討論這類問題不僅可以幫助學生進一步熟悉、掌握運動學中的規律和公式，而且對于培養學生的物理思維能力很有好處。
在教學過程中碰到這樣的一道習題：夜間天黑，甲火車以10m/s速度勻速前進，在其后面行駛的乙火車不小心誤入同一軌道，且以30m/s速度追向甲火車。當乙火車距離甲火車250m遠時，乙火車司機發現前面的甲火車。經過2s的時間反應后，乙火車司機立即剎車。已知乙火車剎車后的加速度大小為1m/s2，試問是否會發生撞車事故？這是典型追及問題中的碰撞問題，學生處理起來難度較大，分析原因主要是很多同學沒有抓住“撞”的條件，當然該題增加了反應時間也增加了不少難度。下面從多種角度入手來解決問題，以期開拓學生視野。
1 比較位移
分析 設不發生撞車事故，則乙車最大末速度為10m/s，則：
2as=v2t-v20，
s=v2t-v202a=102-3022×(-1)=400m，
s乙=v0t反+s=60m+400m=460m，
=vt+v02=20m/s。
若不發生撞車事故，需要剎車最短時間：
t=s=20s，
t總=20s+2s=22s，
s甲=v甲t總=10×22m=220m，
s乙＜s甲+250m，所以不會發生撞車事故。
2 比較加速度
分析 假設乙火車追上甲火車且剛好不相撞，則s乙=s甲+250m且乙的末速度:
vt=v甲=10m/s，
v0t反+v0+vt2t=v甲(t反+t)+250m，
解得：t=21s。
則剛好不撞上乙車剎車的加速度為：
a=vt-v0t=-0.95m/s2，
0.95m/s2＜1m/s2即｜a｜＜a甲， 所以不會發生撞車事故。
3 比較時間
分析 反應時間2s后兩車相距為：
s0-(v乙t反-v甲t反）=210m。
假設甲、乙車相遇，而乙車速度降至：
vt=v甲=10m/s，
s乙=v2t-v202a=102-3022×(-1)=400m。
則在此過程中甲走過的位移為：
s甲=400m-210m=190m，
那么t乙=vt-v0a=20s，t甲=s甲v甲=19s。
t乙＞t甲，即當乙車沒有趕上甲車時速度已經減至10m/s，兩車不會相撞。
4 圖像法
分析 甲乙車的速度圖像如圖所示，在速度圖1中圖像與坐標軸圍成的面積表示位移，乙車速度減為vt=v甲=10m/s時，乙車發生的位移s乙=30×2+10+302×20=460m；
甲車發生的位移：
s甲=10×(2+20)=220m則s乙-s甲=240m，小于甲乙間的距離，所以不會相撞。
5 相對運動法：
分析 選甲車作為參考系，將甲車當作靜止，乙車向前運動相對甲的速度是：
v=30m/s-10m/s=20m/s。
乙相對甲靜止時，
s總=s反應+s剎車=v×t反+-v22a
=20×2m+-2022×(-1)m
=240m。
240m＜250m，所以不會發生撞車事故。
在上述求解方法中，位移法最為“傳統”，但較容易被學生理解和接受；而相對運動法，在思維上有一定難度，但求解過程特別簡單；其他三種方法對思維的要求介于位移法和相對運動法之間，一旦學生掌握了分析思路，還是能夠理解的。
解決這類問題最關鍵的就是要抓住“撞”的條件，這個條件是什么呢？首先，后面的車要追上前面的車，追上了也不一定會撞，只有后車的速度比前車速度大，才會撞上。所以這里既要滿足位置關系，也要滿足速度關系。撞與不撞的臨界條件就是“即將靠近時（s乙=s甲+250m），追趕者速度等于被追趕者速度（vt=v甲=10m/s）”，在這里也可以看做是“追上或者追不上”的問題。
現實生活中的追及問題有：①勻速運動的物體追趕勻加速運動的物體②勻加速運動的物體追趕勻速運動的物體③減速運動的物體追趕勻速運動的物體④勻加速運動的物體追趕勻加速運動的物體等四種情況。從時間和空間的角度來看，追及問題其實質就是指同一時刻能否同時到達空間同一位置。可見，追及時若能相遇的物體必然存在以下兩個關系：一是追及位置與各物體的初始位置之間存在著一定的位移關系（若同地出發，相遇時位移相等為空間條件）；二是追及時物體的運動時間也存在一定的關系，若物體同時出發，則運動時間相等；若兩者先后出發相差Δt，則運動時間關系為t1-t2=Δt。要使物體追及就必須同時滿足上述位移關系和運動時間關系。進一步拓展，有以下兩種情況：
(1)如果是討論從同一地同時出發的兩物體相遇運動問題，它們相遇的臨界條件是：
s后=s前，v后=v前。如果題目中討論的是追及問題，那么當兩車位置相同時v后≥v前就是追上；如果題目中討論的是車輛是否相撞問題，那么當兩車位置相同時當v后＞v前就是撞上，如果v后=v前應該算恰好沒有撞上。
（2）如果是討論從不同地同時出發的兩物體相遇運動問題，它們相遇的臨界條件其實是相同的，不過位置相同即位移關系是s后=s前+Δs，這里Δs指開始相距的距離。
(欄目編輯羅琬華)
