是“荒謬”還是“十分復(fù)雜”

貴刊2007年第12期刊登的張連之老師的《解讀伽俐略“荒謬的結(jié)論”》一文，對(duì)是否存在v∝x的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了有益的探討。該文提及教材介紹伽利略在研究自由落體運(yùn)動(dòng)時(shí)，猜想落體運(yùn)動(dòng)應(yīng)該是一種簡(jiǎn)單的、速度均勻變化的運(yùn)動(dòng)。不過(guò)，速度怎樣變化才算是“均勻”呢？伽利略考慮了兩種可能：“一種是速度的變化對(duì)時(shí)間來(lái)說(shuō)是均勻的，即v與t成正比，另一種是速度的變化對(duì)位移來(lái)說(shuō)是均勻的，即v與x成正比”。 教材必修1（2004年第1版）提到伽俐略“后來(lái)發(fā)現(xiàn)，如果v與x正比，將會(huì)推導(dǎo)出荒謬的結(jié)論”。但究竟得出什么樣的“荒謬的結(jié)論”？張老師提出用x-v圖像來(lái)說(shuō)明。該文提出，用縱坐標(biāo)表示位移x，橫坐標(biāo)表示速度v。如果v∝x，則圖像應(yīng)該是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條直線，如圖1所示，并且認(rèn)為圖像中斜率表示時(shí)間t的大小，而從圖1可以看出斜率k是一個(gè)常數(shù)，即時(shí)間是“凝固的，永恒不變的”，這顯然是荒謬的。

原文的推導(dǎo)方法，看似簡(jiǎn)單明了，仔細(xì)分析卻有疑問(wèn)。眾所周知，在運(yùn)動(dòng)學(xué)中，不管物體做什么樣的直線運(yùn)動(dòng)，勻變速也好，變加速也好，其位移-時(shí)間圖象的斜率（k=dxdt），確實(shí)表示物體的速度（因?yàn)樗俣鹊亩x為v=dxdt）；其速度-時(shí)間圖象的斜率（k=dvdt）也確實(shí)表示物體的加速度（因?yàn)榧铀俣鹊亩x為a=dvdt）。然而，物體位移-速度圖象的斜率是否就一定表示物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間？原文作者顯然是這樣認(rèn)為的。對(duì)此筆者卻不敢茍同，舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，設(shè)物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)，不難作出其位移-速度圖象應(yīng)如圖2所示，為一條垂直于v軸的直線。很明顯圖像各處的斜率k也相同的，并且始終是無(wú)窮大，難道說(shuō)明時(shí)間也是凝固不變的？亦或時(shí)間始終是無(wú)窮大？這些都與勻速直線運(yùn)動(dòng)的實(shí)際不符，顯然這時(shí)圖像的斜率k并不表示物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t。

另外，筆者注意到必修1第2版，已經(jīng)把教材中的文字改成“后來(lái)發(fā)現(xiàn)，如果v與x成正比，將會(huì)推導(dǎo)出十分復(fù)雜的結(jié)論”。說(shuō)明教材的編者也意識(shí)到了這里存在問(wèn)題。

原文觀點(diǎn)的關(guān)鍵就是x-v圖線斜率k的物理意義，對(duì)此有必要詳細(xì)分析一下：

在位移-速度圖象中，圖線的斜率k=dxdv，由于dx=vdt，所以k=dxdv=vdtdv=vdv/dt=va，即k=va，將v=∫adt代入k=va可得：

k=∫adta（1）

從（1）式可以看出，只有當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)的加速度a為定值時(shí)，其斜率k才表示時(shí)間t，如果a隨時(shí)間t變化，則圖線的斜率k就不一定表示時(shí)間t！因?yàn)椋だ栽诎崖潴w運(yùn)動(dòng)猜想成v∝x的運(yùn)動(dòng)時(shí)，還無(wú)法確定該運(yùn)動(dòng)的加速度是否不變，只能把a(bǔ)當(dāng)成t的函數(shù)來(lái)看待。在這樣的前提下，我們不能把圖1中的斜率簡(jiǎn)單地理解為物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，因而也就無(wú)法得出時(shí)間“凝固的，永恒不變的”的結(jié)果。所以原文的說(shuō)明方法是存在問(wèn)題的。

實(shí)際上筆者在講授本節(jié)內(nèi)容時(shí)，有學(xué)生甚至提出，伽利略所猜想的所謂“速度的變化對(duì)位移來(lái)說(shuō)是均勻的”運(yùn)動(dòng)，是否真的可以存在？這確實(shí)是個(gè)有趣的問(wèn)題，為此筆者進(jìn)行了如下的思考：

若物體的運(yùn)動(dòng)果真滿(mǎn)足“速度的變化對(duì)位移來(lái)說(shuō)是均勻的”，則應(yīng)有dv=kdx，這里的k為常量。由于dv=adt、dx=vdt、a=Fm，將它們代入dv=kdx并整理可得：

F=(km)v（2）

其中(km)是常量。即只要給物體施加與其速度成正比的外力，則其速度隨位移均勻變化，這樣的運(yùn)動(dòng)從理論上講是可能存在的！（2）式即該運(yùn)動(dòng)應(yīng)滿(mǎn)足的力學(xué)條件。

另外，將dx=vdt代入dv=kdx并整理得1vdv=kdt，解此微分方程可得v=e(kt+C)，其中C為常數(shù)。考慮初始條件：設(shè)t=0時(shí)物體的初速為v0，代入上式可求得常數(shù)C=lnv0，再將C代入v=e(kt+C)可得這種運(yùn)動(dòng)的速度v隨時(shí)間t變化的規(guī)律為：

v=v0ek t（3）

如果物體所受外力方向與初速方向相同，即（2）式中的k＞0，物體做加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)（3）式可作出物體運(yùn)動(dòng)的v-t圖象如圖3（甲）所示；如果物體所受外力方向與初速方向相反，即（2）式中的k＜0，物體做減速運(yùn)動(dòng)，則物體運(yùn)動(dòng)的v-t圖象如圖3（乙）所示。由于物體的速度均隨位移均勻變化，所對(duì)應(yīng)的x-v圖像則分別應(yīng)如圖3（丙）、（丁）所示。需要注意的是在圖3（丙）、（丁）中，其斜率k雖是常量，但卻并不表示時(shí)間t。 

再有，將（3）式對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，即可得到這種運(yùn)動(dòng)的加速度a隨時(shí)間t變化的規(guī)律為：

a=kv0ek t（4）

從以上（2）、（3）、（4）式可以看出這種運(yùn)動(dòng)實(shí)際上是十分復(fù)雜的變加速運(yùn)動(dòng)。中學(xué)階段究竟是否遇到過(guò)這樣的運(yùn)動(dòng)呢？答案是肯定的。下面舉一例以說(shuō)明。

相距為L(zhǎng)的兩水平光滑金屬導(dǎo)軌，左端用電阻R連接，一質(zhì)量為m的金屬棒PQ垂直置于金屬導(dǎo)軌上，整個(gè)裝置又處于向下的磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，如圖4所示。現(xiàn)給金屬棒一水平向右的初速度v0，不難分析，金屬棒在此后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中將受到向左的安培力作用，其值為F=BIL=B2L2vR，由于B2L2R是常量，即金屬棒所受外力滿(mǎn)足（2）式，因此可以判斷金屬棒的運(yùn)動(dòng)就是速度隨位移均勻變化的運(yùn)動(dòng)。

再有，金屬棒速度從v0減速到v的過(guò)程，由動(dòng)量定理得-∑BIL#8226;Δt=m(v-v0)，由于∑I#8226;Δt=q，所以上式可變?yōu)锽Lq=m(v0-v)。另外，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，可得到此過(guò)程通過(guò)金屬棒的電量q=ΔR=BLxR，其中x是金屬棒的位移，代入BLq=m(v0-v)可得到：

x=mB2L2(v0-v)（5）

從（5）式也能看出，金屬棒在減速運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其速度的變化確實(shí)與位移成正比！位移-速度圖象應(yīng)與圖3（丁）所示一致。

當(dāng)然對(duì)于高一學(xué)生來(lái)說(shuō)，要理解以上分析顯然是非常困難的，所以教材將“荒謬的結(jié)論”改成“十分復(fù)雜的結(jié)論”是非常有道理的。不過(guò)筆者仍然遇到不少學(xué)生在追問(wèn)：自由落體運(yùn)動(dòng)為什么不是這種“速度的變化對(duì)位移來(lái)說(shuō)是均勻的”運(yùn)動(dòng)？這個(gè)問(wèn)題學(xué)習(xí)了牛頓第二定律后自然十分簡(jiǎn)單，但本節(jié)內(nèi)容卻在牛頓定律之前。對(duì)此，筆者認(rèn)為可從邏輯推理的角度給學(xué)生以簡(jiǎn)單的解釋?zhuān)何矬w在落體運(yùn)動(dòng)的初始時(shí)刻速度為零，位移也等于零。如果物體的速度與位移成正比，則它將無(wú)法獲得速度，因?yàn)樗_(kāi)始就沒(méi)有任何位移。而物體如果不獲得速度，則它也就不會(huì)有下落的位移，結(jié)果是初速為零的物體永遠(yuǎn)不會(huì)運(yùn)動(dòng)（而不是原文所謂的時(shí)間是“凝固的，永恒不變的”）！這顯然與落體運(yùn)動(dòng)是實(shí)際情形不符。這一點(diǎn)從本文的（3）式v=v0ek t也可以得到印證：若物體初速v0=0，則在任何時(shí)刻物體的速度v=v0ek t=0，即物體不能下落。由此可見(jiàn)，既要滿(mǎn)足初速為零，又要滿(mǎn)足速度隨位移均勻變化的運(yùn)動(dòng)確實(shí)不存在，因?yàn)樗鼰o(wú)法解釋物體從靜止到運(yùn)動(dòng)的過(guò)渡。

綜上所述，可以得到以下結(jié)論：物體位移-速度圖象的斜率并非一定表示時(shí)間；伽利略所猜想的“速度的變化對(duì)位移來(lái)說(shuō)是均勻的”運(yùn)動(dòng)是可能存在的；但初速為零并且“速度的變化對(duì)位移來(lái)說(shuō)是均勻的”運(yùn)動(dòng)確實(shí)是不存在的。以上觀點(diǎn)是否正確，敬請(qǐng)批評(píng)指正。

(欄目編輯羅琬華)