探討“零勢能面”的選取
2008-04-29 00:00:00朱蕓羅琬華吳沛豪
物理教學探討 2008年7期
1 問題的提出
例1 m1=1kg，m2=10kg的兩個物體放置在空中兩個位置。m2比m1高1m。若我們取比m2高1m的某點為零勢能面，則有：
m1具有的重力勢能：
Ep1=-m1gh1=-20J。
m2具有的重力勢能：
Ep2=-m2gh2=-100J。
比較得：Ep1＞Ep2。
例2 m1=1kg，m2=10kg的兩個物體放在同一個高度地方。若我們取它們所在的高度為零勢能面，比較可得：Ep1＝Ep2＝0。
事實上，兩題的正確答案都應該為：Ep1＜Ep2，錯誤在于零勢能點選擇不當。由此，曾有老師提出這樣一種觀點，即：要比較物體的重力勢能大小時，所選擇的零勢能面不能任意，只能選比它們低的位置為零勢能面才能正確比較。
但是中學物理教科書曾就零勢能面的確定進行過如下說明：選擇不同的參考平面，物體的重力勢能的數值是不同的，但這不影響有關重力勢能的問題，因為在有關的問題中，有確定意義的是重力勢能的相對位置，這個相對位置并不因選擇不同的參考平面而有所不同。換句話來講：勢能零點可根據問題的需要來任意選擇。
那么究竟應該如何理解零勢能點的選擇呢？本文將對此進行深入討論。
2 相關理論回顧
1.1 成對力做功
根據力的相互作用的性質，我們知道，不管是保守力還是非保守力，力總是成對的。
現假設有兩個質點1和2，質量分別為m1和m2，F1為質點1受到質點2的作用力，F2為質點2受到質點1的作用力，它們是一對作用力與反作用力。如果在某參考系內，質點1在dt時間內完成了位移dr1，質點2在這段時間內完成的位移是dr2。根據矢量合成的法則，不難看出dr2=dr1+dr′，此處dr′表示質點2相對于質點1的相對位移，如上圖所示。我們分別用dA1與dA2表示F1與F2所做元功，則有：
dA1=F1·dr1 dA2=F2·dr2(1)
這一對作用與反作用力所作元功之和dA為：
dA=F1·dr1+F2·dr2
=F1·dr1+F2·(dr1+dr′)
=(-F2+F2)·dr1+F2·dr
=F2·dr′(2)
由此可見，成對作用力與反作用力所作的總功只與相互作用力及相對位移dr′有關，而與每個質點各自的運動無關。質點間的相對位移dr′和相互作用力都不隨參考系而變化。所以上面結果表明：任何一對作用力和反作用力所作的總功具有與參考系選擇無關的不變性質。只要牛頓第三定律成立，無論從什么參考系去計算，成對力所作的功的結果都一樣。
1.2 重力對物體做的功
重力是地球與物體間的相互作用力。在地球與m（物體或質點）共同組成的系統中，重力對該物體做的功可以按照前面成對力做功的求解方法進行計算，有：
Aab=∫h1h2-mgdy=mgh1-mgh2
=-(mgh2-mgh1)（5）
重力做功的特點：重力對物體做功與運動質點的始末位置（高度h1和h2）有關，而與運動的具體路徑無關。這也即是保守力做功的特點。可以證明，重力是保守力的一種。
1.3 重力勢能
重力是保守力，引入重力勢能的概念Ep，即有：Ep=mgh（6）
該計算式一般是物體相對于以地面為勢能零點而言的，所以：
Ep=Ep-0=mgh-mg0=mgh（7）
重力勢能是與勢能零點選擇有關的相對量，當選相對于地面高h′處為勢能零點時，物體處于h時的勢能：Eph=mg(h-h′)，處于地面的勢能Ep0=mg(0-h′)。
但兩點之間的勢能差，卻是與勢能零點的選取無關的絕對量。因此，在解決各種實際問題時，必須明確規定一個參考位置作為計算高度的起點。這樣，重力勢能才有確定的數值。
1.4 勢能零點的確定
通過前面相關概念的回顧我們知道，成對力功與參考系的選擇無關，系統勢能差具有絕對意義，而具體的勢能量值只有相對意義，該值等于從該位置移動到勢能零點時保守力所作的功。而勢能零點可根據問題的需要來選擇。對重力勢能而言同樣如此。
需要強調的是，重力勢能是物體和地球所共有的。物體之所以具有重力勢能，是由于重力做功的結果。如果沒有地球，就根本沒有重力，物體也就沒有重力勢能。因此重力勢能反映的是物體和地球之間，由相對位置所決定的相互作用能，是屬于物體和地球所組成的系統的。“物體的重力勢能”只是一種簡稱。
3 問題討論
根據前面相關理論回顧，我們現在用成對力做功的方法對例1和例2再次進行分析。
例1 （題略）分析如下圖所示：
選取零勢能面向右為正建立x軸，垂直零勢能面向上為正建立y軸，構成直角坐標系Oxy。由題可知，此時：h1=-2m，h2=-1m。
利用成對保守力做功的計算公式（2），有：
結論 零勢能面可以根據研究問題的需要任意選擇，前面所說的“只能選比研究對象低的位置為零勢能面才能正確比較”的說法是錯誤的。
4 總結
從上面的分析中我們可以看到，在理解勢能時應當注意：勢能既取決于系統內物體之間相互作用的形式，也取決于物體間的相對位置，所以勢能是屬于物體系統的，不為單個物體所具有。通常有人講“物體的勢能”這句話，只是為了敘述的簡便，但是不嚴格的。
對重力勢能而言，重力勢能是物體和地球所共有的。物體之所以具有重力勢能，是由于重力做功的結果。如果沒有地球，就根本沒有重力，物體也就沒有重力勢能。即，重力勢能反映的是物體和地球之間，由相對位置所決定的相互作用能，是屬于物體和地球所組成的系統的。在這一點上，重力勢能和動能也不同。動能為運動物體所單獨具有，而重力勢能則是物體和地球所組成的系統所共有的。平時說的“高處的物體具有重力勢能”，這只是習慣上簡便的說法，而“物體的重力勢能”也只是一種簡稱。
（欄目編輯羅琬華）
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