胸中有圖 力求以形助數(shù)

圖象法是一種常用的數(shù)學(xué)方法，其解題實(shí)質(zhì)是通過運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，抽象的問題具體化，從而直觀地發(fā)現(xiàn)解題途徑，簡(jiǎn)化解題過程. 從歷年的高考形勢(shì)來看，圖象法主要應(yīng)用在方程、不等式、函數(shù)、復(fù)數(shù)、導(dǎo)數(shù)等方面. 一般說來，作圖的方法主要有列表描點(diǎn)法和圖象變換法等. 在應(yīng)用時(shí)，數(shù)形結(jié)合是圖象法的最好體現(xiàn)，很多棘手的代數(shù)問題在使用數(shù)形結(jié)合的方法后即可迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷. 下面筆者通過幾個(gè)不同的例子介紹圖象法的應(yīng)用．

一、應(yīng)用于不等式

例1若不等式≥x（a>0）的解集為｛x｜m≤x≤n｝，且｜m－n｜＝2a，則a的值為（）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

解析：在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=與y=x的圖象（如圖1），依題意得，m＝－a，n＝a，從而＝a#8658;a＝0或2，且a＝0應(yīng)舍去，故選B.

[y][x][y=x][y=][m][n][O]

圖1

點(diǎn)評(píng)：此題如果用代數(shù)法求解，容易兩邊平方，導(dǎo)致變形過程不等價(jià)而出錯(cuò)，并且等價(jià)變形時(shí)需要討論，這樣勢(shì)必會(huì)造成“小題大做”. 在解決類似此題中的“超越不等式”的問題時(shí)，一定要用圖象法，因?yàn)橛脠D象法可以避開繁瑣的代數(shù)解法，充分體現(xiàn)了圖象法解題的簡(jiǎn)捷性. 另外，這道題還可以變形為利用圖象解不等式的題目.

二、應(yīng)用于方程

例2方程lgx＝sinx的實(shí)根的個(gè)數(shù)為（）

A. 1個(gè) B. 2個(gè)

C. 3個(gè)D. 4個(gè)

解析：在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝sinx，y＝lgx的圖象（如圖2），即可知道答案. 故選C.

[y][x][1][-1][O][π][2π][3π][4π][y＝sinx][y＝lgx][1]

圖2

點(diǎn)評(píng)：這道題中的方程是中學(xué)所學(xué)知識(shí)無法解決的“超越方程”，此時(shí)必須要用圖象法求解. 一般說來，研究對(duì)數(shù)方程時(shí)，需先將方程作等價(jià)變形，使之簡(jiǎn)化，再利用函數(shù)圖象的直觀性研究方程的解的情況. 本題中的方程還可以變形為lgx＝sinx，再用圖象法確定方程實(shí)根的個(gè)數(shù).

三、應(yīng)用于函數(shù)

例3如果實(shí)數(shù)x、y滿足（x－2）2＋y2＝3，則的最大值為_______.

解析：如圖3所示，方程（x－2）2＋y2＝3表示一個(gè)圓，圓心為（2，0），半徑r＝. 而＝則表示圓上的點(diǎn)（x，y）與坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0）的連線的斜率，所以該問題可轉(zhuǎn)化為幾何問題，動(dòng)點(diǎn)A在以（2，0）為圓心，為半徑的圓上移動(dòng)，求直線OA的斜率的最大值. 由圖可知，當(dāng)∠A在第一象限，且與圓相切時(shí)，OA的斜率最大. 經(jīng)過簡(jiǎn)單計(jì)算，得到最大值為tan60°＝. 故答案為.

[y][x][O][A][M]

圖3

點(diǎn)評(píng)：本題中的代數(shù)式有明顯的幾何意義，即表示直線的斜率. 一般說來，求解有明顯幾何意義的代數(shù)式的值域與最值時(shí)，如果利用圖象法求解，則可將數(shù)形結(jié)合的思想更加完美地體現(xiàn)出來.

四、應(yīng)用于區(qū)間問題

例4方程lgx＋x＝3的解所在的區(qū)間為（）

A． （0，1）B． （1，2）

C． （2，3）D． （3，＋∞）

解析：在同一平面直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)y＝lgx與y＝－x＋3的圖象（如圖4）． 它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0顯然在區(qū)間（1，3）內(nèi)，由此可排除答案A和D． 至于選B還是選C，由于畫圖精確性的限制，單憑直觀判斷就比較困難了． 事實(shí)上，此時(shí)應(yīng)比較x0與2的大?。?當(dāng)x＝2時(shí)，lgx＝lg2，3－x＝1，由于lg2＜1，所以x0＞2，從而判定x0∈（2，3），故選C．

[y][x][O][3][x0][3][2][1][1]

圖4

點(diǎn)評(píng)：本題通過構(gòu)造函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合的方法對(duì)方程lgx＋x＝3的解所在的區(qū)間進(jìn)行求解. 數(shù)形結(jié)合要在“結(jié)合”方面下工夫，不僅要通過圖象進(jìn)行直觀地估計(jì)，而且還要計(jì)算與x0鄰近的兩個(gè)數(shù)的函數(shù)值，并通過比較其大小進(jìn)行判斷.

五、應(yīng)用于復(fù)數(shù)

例5已知復(fù)數(shù)z1＝3－i，｜z2｜＝2，則 ｜z1＋z2｜的最大值為（）

A. －2B. 5

C. 2＋D. 2＋2

解析：由｜z2｜＝2可知，z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以（0，0）為圓心，2為半徑的圓上，而 ｜z1＋z2｜＝｜z2－（－z1）｜＝｜z2－（－3＋i）｜，即表示復(fù)數(shù)z2與－3＋i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離. 畫出圖象（如圖5），由圖易知，該距離的最大值為｜PO｜＋r＝＋2＝＋2，故選C.

[y][x][O][z2][P（-3，1）]

圖5

點(diǎn)評(píng)：本題中復(fù)數(shù)的模有明顯的幾何意義，此時(shí)借助圖象可以幫助我們直觀地認(rèn)識(shí)問題. 充分地運(yùn)用復(fù)數(shù)的模、幅角以及復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義，將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為平面圖形上的距離和角度問題，是解決復(fù)數(shù)問題的常用方法.

六、應(yīng)用于抽象函數(shù)

例6定義在R上的函數(shù)y＝f（x）在（－∞，2）上為增函數(shù)，且函數(shù)y＝f（x＋2）的圖象的對(duì)稱軸為x＝0，則（）

A. f（－1）＜f（3）B. f（0）＞f（3）

C. f（－1）＝f（－3）D. f（2）＜f（3）

解析：f（x＋2）的圖象是由f（x）的圖象向左平移2個(gè)單位得到的. 由f（x＋2）的圖象關(guān)于直線x＝0（即y軸）對(duì)稱，可推知f（x）的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱. 又由f（x）在（－∞，2）上為增函數(shù)可知， f（x）在（2，＋∞）上為減函數(shù)，依此比較函數(shù)值的大小. 故選A.

點(diǎn)評(píng)：本題是應(yīng)用函數(shù)y＝f（x）的性質(zhì)和圖象變換的知識(shí)，比較有關(guān)函數(shù)值的大小的題型. 事實(shí)上，函數(shù)的圖象與性質(zhì)在學(xué)習(xí)中是“互相利用”的關(guān)系，函數(shù)圖象在判斷函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、周期性以及求最值等方面都有重要的用途.

七、應(yīng)用于導(dǎo)數(shù)

例7（Ⅰ）（2008年福建）已知函數(shù)y＝f（x），y＝g（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖象（如圖6），那么y＝f（x），y＝g（x）的圖象可能是（）

[y＝g ′（x）][y][x][O][y＝f ′（x）][x0]

圖6

[y＝g（x）][y][x][O][y＝f（x）][x0][y＝g（x）][y][x][O][y＝f（x）][x0]

A B

[y＝g（x）][y][x][O][y＝f（x）][x0][y＝g（x）][y][x][O][y＝f（x）][x0]

C D

解析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系，由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，函數(shù)y＝f（x）和y＝g（x）都在遞增，且函數(shù)y＝f（x）增加得越來越慢，函數(shù)y＝g（x）增加得越來越快，而兩函數(shù)在x0處的切線平行，經(jīng)比較，可得最終答案. 故選D.

（Ⅱ）（2006年天津）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)殚_區(qū)間（a，b），導(dǎo)函數(shù)f ′（x）在（a，b）內(nèi)的圖象如圖7所示，則函數(shù) f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)有極小值點(diǎn)（）

[y][x][O][b][a][y=f ′（x）]

圖7

A． 1個(gè)B． 2個(gè)

C． 3個(gè)D． 4個(gè)

解析：極小值點(diǎn)在導(dǎo)函數(shù)圖象上是負(fù)數(shù)到正數(shù)穿過x軸的交點(diǎn)（如圖7）. 由圖象可知，在區(qū)間（a，0）的圖象上有一個(gè)極小值點(diǎn). 故選A.

點(diǎn)評(píng)：以上兩題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)圖象的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用能力. 同學(xué)們要熟練掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)之間的關(guān)系.