勾股定理史話

教科書第十八章《勾股定理》中，除了包括勾股定理及其逆定理的知識內(nèi)容外，還介紹了關(guān)于這些內(nèi)容的一些歷史資料，體現(xiàn)了濃重的數(shù)學文化氣息.

古代中國人把直角三角形較短的直角邊叫做勾，較長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦.由于勾和股兩者的長確定后，弦的長也隨之確定，所以人們把反映勾、股、弦長度之間的數(shù)量關(guān)系的一個命題稱為勾股定理.這個定理的敘述形式并不復(fù)雜，即“直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方”，寥寥二十余個漢字就表達了它；又可以用數(shù)學式子的形式表達為：“若直角三角形的兩條直角邊的長分別為a、b，斜邊的長為c，則a2+b2=c2.” 勾股定理在數(shù)學中具有重要的地位，它揭示了直角三角形的三邊之間的一種特有規(guī)律.人們對它的發(fā)現(xiàn)和研究可以追溯到遠古的年代.

[一][勾股定理的發(fā)現(xiàn)有悠久的歷史]

公元前約2 000年的巴比倫人對數(shù)學的發(fā)展有重要貢獻.從考古學家發(fā)現(xiàn)的大約公元前15世紀的楔形文字，數(shù)學家推斷當時的巴比倫人已經(jīng)知道了勾股定理所揭示的內(nèi)容.

中國人對勾股定理的發(fā)現(xiàn)也位居世界前列.中國古代數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中記載，周公問商高有關(guān)測量的問題，商高的回答中提到，作一個邊長分別為3，4，5的三角形，就可以畫出直角，并提到大禹治水時就曾用這種方法進行測量.雖然“勾三股四弦五”所說的只是一種特殊的直角三角形，但是商高所說內(nèi)容畢竟是涉及勾股定理的最早記載之一.

《周髀算經(jīng)》中還有另一涉及勾股定理的記載“陳子測日”，說的是一個叫陳子的人，他曾利用測量桿子及其影子的方法計算太陽與測量者的距離.陳子計算直角三角形的斜邊時，所用方法是“勾股各自乘，并而開方除之”.用現(xiàn)在的語言說，即“兩條直角邊各自平方，相加后再開平方”.可見他已認識到了一般直角三角形中三邊之間的數(shù)量關(guān)系，并能熟練地運用它解決問題.“陳子測日”比商高的話更進一步反映了勾股定理的本質(zhì).

公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)了直角三角形中三邊之間的數(shù)量關(guān)系，相傳他是觀察地板磚時受到啟發(fā)的，教科書中對此有所介紹.西方人稱勾股定理為畢達哥拉斯定理.有數(shù)學史學者說，畢達哥拉斯年輕時曾在巴比倫學習，還可能到過印度，而巴比倫人早已知道直角三角形中三邊之間的數(shù)量關(guān)系.中國人在畢達哥拉斯之前也已知道它并可能將其傳至印度，所以畢達哥拉斯的發(fā)現(xiàn)有可能與前人的研究有關(guān).但是這種猜測有待進一步考證.

[二][勾股定理的證明有多種方法]

公元前3世紀，古希臘數(shù)學家歐幾里得在前人研究成果的基礎(chǔ)上，編寫了一部非常重要的數(shù)學著作《幾何原本》.在這部書中，歐幾里得給出了如下的勾股定理證法.

如圖1，以Rt△ABC的三邊為邊，分別向外作三個正方形AGFB，BDEC，CKHA.連接AD，CF，作AL⊥DE于L，交BC于M.正方形AGFB的面積=2×△FBA的面積=2×△FBC的面積，長方形BDLM的面積=2×△MBD的面積=2×△ABD的面積，而△FBC≌△ABD（SAS），所以正方形AGFB的面積=長方形BDLM的面積.類似地可證，正方形CKHA的面積=長方形MLEC的面積.因此，正方形BDEC的面積=長方形BDLM的面積＋長方形MLEC的面積=正方形AGFB的面積＋正方形CKHA的面積，即BC2=AB2+AC2.

勾股定理引起許多人的興趣，大家給出了很多種證明方法，甚至連身居高位的政治家也對它著迷.圖2是美國第20任總統(tǒng)加菲爾德給出的一種證法.他以邊長分別為a、b、c的Rt△ABC為基礎(chǔ)，構(gòu)造了梯形ACDE.這個梯形的面積等于圖中三個三角形面積的和，即（a+b）2=2×ab+c2.于是，得a2+b2=c2.

據(jù)統(tǒng)計，人們對勾股定理前前后后給出了400多種證法，這使得勾股定理成為證法最多的一個定理.

[三][勾股定理的地位非常重要]

勾股定理是一個非常重要的定理.它的影響不僅是在平面幾何方面，而且深入到數(shù)學的其他分支.在今后的學習中，你會感受到勾股定理非常有用.下面給出幾個這方面的例子.

三角函數(shù)是一類重要的函數(shù)，對它的研究也與勾股定理有密切聯(lián)系.

在Rt△ABC中，∠C是直角，銳角∠A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦函數(shù)，∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦函數(shù).由勾股定理可以推出這兩個函數(shù)的平方和

2+

2===1，于是得到同一個銳角的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)之間的一種重要關(guān)系，即它們的平方和總是常數(shù)1.類似地，對于任意角（不限于銳角）的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)，利用勾股定理也能得到同樣結(jié)論.在這種關(guān)系的基礎(chǔ)上，又可以進一步得到更多的三角函數(shù)公式.

解析幾何是通過坐標方法來研究幾何圖形的一個數(shù)學分支.兩點間的距離公式是解析幾何的基礎(chǔ)知識，對它的推導(dǎo)是勾股定理的又一應(yīng)用.

如圖3，設(shè)平面直角坐標系中有P（x1，y1）和Q（x2，y2）兩點，則由勾股定理可知線段PQ的長為，于是得到平面上兩點的距離公式PQ=.

如圖4，在以O(shè)（0，0）為圓心，r為半徑的圓上，任意一點P（x，y）到原點的距離都等于r，于是有=r，即x2+y2=r2.這就是解析幾何中關(guān)于這個圓的方程.顯然，它也是以勾股定理為基礎(chǔ)得出的.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文”。