數學活動室

在復習“有理數”一章后半部分的內容時，七（1）班數學興趣小組的所有成員又聚到一起，開展本學期的第四次興趣小組活動.

組長趙毓晗首先說：“‘有理數’一章后半部分主要是有關有理數的乘除、乘方以及混合運算等內容.下面請大家就這部分內容暢談自己學習的感受.”一向心直口快的劉宗林馬上說道：“我感覺有理數的乘除運算和小學學過的內容差不多，而乘方運算只不過是幾個相同數的乘法運算的另一種書寫形式.”思維更為活躍的“數學王子”高炎生聽不慣劉宗林這種無所謂的腔調，略帶些霸氣地說：“對你的說法我不敢茍同.在有理數之間進行乘除、乘方以及混合運算，與小學學過的乘除和混合運算相比，還是有很大的區別.你沒聽老師在課上總結嗎？有理數之間的運算不僅包含絕對值的運算，還有符號的運算，而乘方運算是更高級的運算.我們可不能輕視.”劉宗林臉上微顯不悅之色.見剛開始就有了點“火藥味”，其他同學忙打圓場：“組長，還是和以前一樣，你先出些題，我們討論一下吧！重要不重要，容易不容易，題目中見分曉.”“那好吧！”說著，趙毓晗在黑板上寫下了以下幾道題目：

①計算：- 24 ÷ （- 8） × -

.

②計算：- 22 - （- 3）3 × （- 1）2 - （- 1）3.

③計算：- .

④下列說法中正確的是（）.

A． 若a ≠ b，則a2 ≠ b2B． 若a ＞ b，則a2 ＞ b2

C． 若a2 = b2，則a = bD． 若a + b = 0，則a3 + b3 = 0

趙毓晗剛寫完，劉宗林又搶先說道：“我知道第①題如何解答.本題是只含有乘除的混合運算，要注意從左往右的運算順序.式子中的（-8） × -

是個陷阱，千萬不可因為想要進行簡便運算而改變運算順序.所以本題要先算（- 24） ÷ （- 8），再把所得的商與- 相乘.最終結果顯然是.”“啊……不對！”大家齊喊道，“應該是- ，你沒有進行符號運算.”劉宗林一怔，仔細一瞧，連拍自己的腦門，為自己的粗心懊惱不已.“第②題該如何解答？”趙毓晗問道.劉宗林這回不敢輕易發言了，這時班長宋祥威說：“我清楚第②題如何解答.本題重在考查乘方運算.在乘方an中，a叫底數，n叫指數，乘方的結果叫冪.在具體運算時，一定要弄清某個指數所對應的底數是什么.在本題的第一項‘- 22’中，指數2所對應的底數是2，而不是-2.這里的負號是2的2次冪的性質符號.”說著他在黑板上作了如下板書：原式= - 4 - （- 27） × 1 - （- 1） = － 4 + 27 + 1 = 24.劉宗林看著班長的板書邊點頭邊說：“那第③題中指數2對應的底數應該是5，而不是，更不是- ，所以運算結果應該是- .這次我沒有再上當吧.”大家都為他的細心點頭稱好.高炎生突然說道：“那你再說說第④題該選哪一個.”劉宗林仔細閱讀了一下題目，緩緩說道：“A選項中當a = 2，b = - 2時，a ≠ b，但是22 = （- 2）2，即a2 = b2.當a，b相等或互為相反數時，a2 = b2；反之亦然.所以A選項錯誤，C選項也容易判斷，是錯誤的.本題應該選擇B、D兩個選項中的一個，我感覺B選項不對，我猜是選D.”對學習一向要求嚴格的閆明大聲說：“怎么能猜呢？要說明B選項是錯誤的，也只需舉一個反例啊.比如，1 ＞ － 3，但12 ＜ （- 3）2.用排除法可以知道一定是選D.”

這時一直站在一旁的數學老師張老師上前一步對大家說：“剛才幾位同學的回答都很好.用淘汰法確實是一種很好的解答選擇題的方法.但學習數學只停留在為解答一道題目而解題是遠遠不夠的.要學會在解題后反思，要真正理解題目要考查的知識，領會解答題目的方法，挖掘出題目的解答中所蘊涵的規律.這樣才可以達到觸類旁通、事半功倍的效果.拿剛才這個問題來說，題目旨在考查我們對有理數的奇數次冪與偶數次冪的特征的理解.大家知道，任何有理數的偶數次冪一定是非負數（即為正數或零），但奇數次冪則不改變底數的正負性，特別是對一對相反數而言，它們的偶數次冪是相等的，而奇數次冪卻仍然互為相反數.若能理解這一點，解決剛才的問題就易如反掌了.”

趙毓晗見所有的問題都解決了，于是說：“看來大家今天的收獲都不小.近來，大家在學習中一定都遇到過一些解決不了的問題，那就寫在黑板上，讓我們一起來解決吧！”很快，黑板上便有了下面幾個問題.

①若ab ＜ 0，則 ++= .

②求32 008的個位數字.

③已知a = 355，b = 444，c = 533，試比較a，b，c的大小.

④計算：1 + 2 + 22 + 23 + … + 22 007.

一番討論之后，同學們開始陸續發言了.

組長趙毓晗說：“第①題需要用分類思想解答.已知ab ＜ 0，則a，b必異號.若a ＞ 0，b ＜ 0，則原式 = ++ = － 1；若a ＜ 0，b ＞ 0，則原式=++= -1.所以原式的值為－ 1.”

（讀者朋友，請你思考：若abc ＜ 0，則 +++的值是多少？）

數學課代表傅皓說：“第②題中要求32 008的個位數字，需先找規律：31 = 3，32 = 9，33 = 27，34 = 81，35 = 243，….可以發現從第5個數開始個位上數字便出現循環，即每4個為一個循環.2 008除以4余0，所以32 008的個位數字和34的個位數字一樣，為1.”

（同樣可以求任何一個整數的任意正整數次冪的個位數字.那么，72 007的個位數字是多少呢？試試看.）

李雪妮說：“我在課外教輔資料上看過第③題的解答過程，其解答的關鍵是要把各個式子化為同底數或同指數的式子后再作比較.355表示55個3相乘，將55個3每5個一組，可分成11組，由乘方的定義可把355寫成（3 × 3 × 3 × 3 × 3）11 = （35）11，即24311；同理可以把444，533分別寫成（44）11，（53）11，即25611，12511.它們的指數相同，而底數中256最大，125最小，所以444 ＞ 355 ＞ 533.即b > a >c.”

可是對第④題卻沒有人發表見解了，看來同學們是給難住了.任務只好留給張老師.

張老師說：“第④題直接計算確實很難.這里我教給大家一種特殊的方法——錯位相消法.設S = 1 + 2 + 22 +23 + … + 22007，兩邊同乘以2，得2S = 2 + 22 + 23 + … + 22 007 + 22 008.大家仔細觀察這兩個等式的特點，第二個等式的右邊與第一個等式的右邊相比，只是少了個1，多了個22008，于是將第二個等式減去第一個等式可得2S - S = 22 008 - 1，即S = 22 008 － 1.所以原式的計算結果為22 008 － 1.當然，這一方法只有當算式中相鄰的兩項的比值相等時才能使用.今天的興趣小組活動中，同學們的參與熱情很高，大家再說說自己的收獲吧！”

“數的范圍擴大為有理數后，各種運算與小學相比雖然沒有什么大的變化，但也得細心，特別要注意符號運算.下次我一定小心，不能再在這方面吃虧了.”劉宗林有些害羞地說.

“從這次解決這些問題的過程看，真正地領悟相關概念的意義是解決與之相關問題的基礎，而不應該一味地尋求技巧.”一向少言寡語的張璇有點語出驚人……

親愛的讀者朋友，你對于有理數的運算，還有哪些處理不了的問題呢？趕快動手寫出來，在自己的興趣小組活動中說一說，讓大家共同幫助你解決吧！

“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文”