探求冪的規律

七年級數學上冊教科書中“有理數的乘方”一節讓我們觀察例1進行思考：

當指數是時，負數的冪是數；

當指數是時，負數的冪是數.

應該怎么填呢？我們還是先來理解乘方的意義.

一、乘方的意義

求n個相同因數的積的運算，叫做乘方，乘方的結果叫做冪.這里，n個相同的因數a相乘即，記作an，讀作a的n次方.當我們把an看成a的n次方的結果時，也可以讀作a的n次冪.在an中，a叫做底數，表示相同的因數，n叫做指數，表示相同因數的個數. 乘方是因數相同的乘法運算，所以是一種特殊的乘法運算，是有理數乘法中的一種特殊情況.

明白了乘方的意義，我們再回過頭來考慮負數的冪的規律. 例如，我們來確定（-3）3和（-2）4的符號，怎么確定？我們知道，（-3）3中的指數3和（-2）4中的指數4都是因數的個數.這就好辦了，我們把這兩個式子都表示成積的形式，（-3）3 = （-3）×（-3）×（-3），（-2）4 = （-2） ×（-2）×（-2）×（-2）.那么積的符號和負因數的個數之間又有什么關系呢？我們回想一下，有理數的乘法有一個規律：幾個不是0的數相乘，負因數的個數是偶數時，積是正數；負因數的個數是奇數時，積是負數.由此我們可以確定，（-3）3的符號為負，而（-2）4的符號為正. 更進一步，我們可以總結出如下規律：

負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數；

正數的任何次冪都是正數（1的正整數次冪等于1）；

0的任何正整數次冪都是0.

也許有的同學會思考：我見過（-3）3，但也見過-33，而且（-3）3 ＝ -33 ＝ － 27，那么它們是不是一樣的呢？下面我們就來比較一下它們的一般形式（-a）n與-an的異同.

二、（-a）n與-an的異同

1. 不同點

（1）讀法不同，（-a）n讀作“負a的n次方”， -an讀作“負的a的n次方”；

（2）底數不同，（-a）n的底數是-a，而-an的底數是a；

（3）意義不同，（-a）n表示n個-a相乘，即，而-an表示n個a的乘積的相反數，即- ；

（4）若a ≠ 0，則結果可能不同.當n為奇數時，（-a）n = -an；當n為偶數時，（-a）n一定為正數，而-an為負數，（-a）n ≠ -an.

2. 相同點

當n為奇數或a = 0，n為正整數時，（-a）n = -an（僅是運算結果相同）.

當n為偶數時，（-a）n與-an互為相反數，所以底數為負數時，要用括號把整個負數（連同負號）括起來，再在其右上角寫上指數.如“-3的平方”要寫成（-3）2，而不能寫成-32.與此類似，底數為分數時，也要用括號把整個分數括起來，如“的平方”要寫成2，而不能寫成或.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文