二次函數(shù)系統(tǒng)化學習

數(shù)形結(jié)合是研究函數(shù)問題的主要方法，有些同學之所以感到二次函數(shù)難學，主要原因就是沒有在二次函數(shù)與其對應拋物線之間建立聯(lián)系.

二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是我們研究的重點，也是利用二次函數(shù)解決其他問題的關(guān)鍵點.

1. 二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的確定

(1) a決定開口方向及開口大小.當a>0時，拋物線的開口向上;當a<0時，拋物線的開口向下.|a|值越大，拋物線的開口越小;|a|值越小，拋物線的開口越大.|a|值相同的拋物線，通過平移(或軸對稱變換)后一定能夠重合.

(2) b和a決定拋物線的對稱軸x=- 的位置.當b=0時，對稱軸為y軸;當a，b同號時，對稱軸在y軸左側(cè);當a，b異號時，對稱軸在y軸右側(cè).

(3) 拋物線與y軸的交點為(0，c).當c=0時，拋物線經(jīng)過原點;當c>0時，與y軸交于正半軸;當c<0時，與y軸交于負半軸.

拋物線的頂點坐標是- ， .

例1 (2008年宿遷市)在平面直角坐標系中，函數(shù)y=-x+1與y=- (x-1)2的圖象是().

解析: 在拋物線y=- (x-1)2中，對稱軸為x=1，在y軸右側(cè)，頂點為(1，0).直線y=-x+1與x軸的交點也為(1，0)，故應選擇D.

例2 (2008年蕪湖市)函數(shù)y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐標系內(nèi)的大致圖象是().

解析: 解這類題一般用排除法:先根據(jù)一個函數(shù)的特點，確定a，b的符號，然后根據(jù)a，b的符號判斷另一個函數(shù)是否符合.對于A，根據(jù)一次函數(shù)的圖象，可知a<0，但二次函數(shù)的圖象開口向上，故a>0，可排除A.對于D，根據(jù)一次函數(shù)的圖象，有a>0，但二次函數(shù)的圖象開口向下，故a<0，可排除D.對于B，二次函數(shù)的對稱軸在原點右側(cè)，則b<0，但一次函數(shù)的圖象與y軸交點在x軸上方，b>0，可排除B.于是應選擇C.

2. 用二次函數(shù)的圖象判斷y=ax2+bx+c中a，b，c的特征

例3 (2008年巴中市)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖1所示，則下列說法中不正確的是().

A. b2-4ac>0 B. a>0 C. c>0 D. - <0

解析: 該拋物線與x軸有兩個交點，由此可知b2-4ac>0;圖象開口向上，則a>0;與y軸交于正半軸，則c>0.所以A，B，C正確，答案為D.

也可以通過對稱軸在y軸右側(cè)直接判斷選D.

例4 (2008年天門市)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖2所示，有下列結(jié)論:

① abc>0;② 2a+b<0;③ a-b+c<0;④ a+c>0.

其中正確結(jié)論的個數(shù)為().

A. 4B. 3C. 2D. 1

解析: 由圖可知，該拋物線與x軸有兩個交點，開口向下，與y軸交于正半軸，對稱軸在y軸的右側(cè)，所以a<0，b>0，c>0，1>- >0.于是abc<0，

2a+b<0.當x=-1時，y>0，所以a-b+c>0.由a-b+c>0，可得a+c>b>0.故應該選C.

3. 二次函數(shù)圖象的對稱軸與特殊點

拋物線上的特殊點和對稱軸對于解題至關(guān)重要，有必要深刻理解.

二次函數(shù)解析式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)用配方法可化成y=a(x-h)2+k的形式，其中h=- ，k= .對稱軸為x=- .拋物線是軸對稱圖形，拋物線上任意一對對稱點連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線上兩點，若y1=y2，則這個拋物線的對稱軸是x= .

(1) 當b2-4ac>0時，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個實數(shù)根x1，x2，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸有兩個交點A(x1，0)和B(x2，0).

(2) 當b2-4ac=0時，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個相等的實數(shù)根，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點- ，0在x軸上.

(3) 當b2-4ac<0時，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)沒有實數(shù)根，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸沒有交點.

例5 (2008年咸寧市)拋物線y=2x2+8x+m與x軸只有一個公共點，則m的值為_____.

解析: 由題意可知，一元二次方程2x2+8x+m=0有兩個相同的實數(shù)根，則b2-4ac=64-8m=0，所以m=8.

4. 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

研究函數(shù)圖象可以發(fā)現(xiàn)，當a>0，圖象開口向上時，點到對稱軸的距離越遠，函數(shù)值越大;當a<0，圖象開口向下時，點到對稱軸的距離越遠，函數(shù)值越小.轉(zhuǎn)換為符號語言就是:設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸是x=x0，A(x1，y1)，B(x2，y2)是其圖象上兩點，當|x1-x0|>|x2-x0|時，若a>0，則y1>y2;若a<0，則y1

例6 (2008年貴陽市)二次函數(shù)y=(x-1)2+2的最小值是().

A. -2B. 2C. -1D. 1

解析: 把二次函數(shù)的解析式化為y=(x-h)2+k的形式，當x=h時，其有最值k.本題h=1，k=2，a=1>0，所以最小值為2.答案為B.

例7 (2008年嘉興市)一函數(shù)的圖象如圖3，給出以下結(jié)論:

① 當x=0時，函數(shù)值最大;② 當0

其中正確的結(jié)論是().

A. ①②B .①③C. ②③D. ①②③

解析: 由圖容易看出①錯，②③對，所以答案為C.

例8 (2008年威海市)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過點A(1，2)，B(3，2)，C(5，7).若點M(-2，y1)，N(-1，y2)，K(8，y3)也在二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象上，則下列結(jié)論正確的是().

A. y1

解析: 點A(1，2)與B(3，2)的縱坐標相同，所以它們是關(guān)于對稱軸的對稱點.顯然對稱軸是直線x=2.研究點B(3，2)，C(5，7)可以發(fā)現(xiàn)，對稱軸右側(cè)是單調(diào)遞增的，所以a>0.由|2-(-1)|<|2-(-2)|<|2-8|，可得y2

5. 二次函數(shù)圖象的平移

頂點決定拋物線的位置.幾個二次函數(shù)，如果二次項系數(shù)a相同，那么拋物線的開口方向#65380;大小完全相同，只是位置不同.將拋物線y=ax2向上平移k個單位，可以得到拋物線y=ax2+k;將拋物線y=ax2向右平移h個單位，可以得到拋物線y=a(x-h)2;將拋物線y=a(x-h)2向上平移k個單位，可以得到拋物線y=a(x-h)2+k.

二次函數(shù)從y=ax2平移到y(tǒng)=ax2+bx+c，只需要通過分析頂點從(0，0)到- ， 的變化，就可以確定整個拋物線的平移方式.

例9 (2008年蘭州市)在同一坐標平面內(nèi)，有下列4個函數(shù):

① y=2(x+1)2-1;② y=2x2+3;③ y=-2x2-1;④ y= x2-1.

它們的圖象不可能由函數(shù)y=2x2+1的圖象通過平移變換#65380;軸對稱變換得到的是_____.(填序號)

解析: 函數(shù)④與函數(shù)y=2x2+1的二次項系數(shù)既不相等(可以通過平移來進行變換)，也不互為相反數(shù)可以進行關(guān)于直線y= 的軸對稱變換，所以答案為④.

例10 (2008年荊門市)把拋物線y=x2+bx+c的圖象向右平移3個單位，再向下平移2個單位，所得圖象的解析式為y=x2-3x+5，則().

A. b=3，c=7B. b=6，c=3C. b=-9，c=-5D. b=-9，c=21

解析: 拋物線y=x2-3x+5與y軸交于點(0，5)，將其向上平移2個單位得到拋物線y=x2+bx+c，它與y軸的交點為(0，7)，所以c=7，答案為A.

責任編輯/趙良河

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文”#65377;