學(xué)習(xí)圓需要把握的幾個(gè)問(wèn)題

孫琪斌，中學(xué)數(shù)學(xué)特級(jí)教師，上海市嘉定區(qū)數(shù)學(xué)教研員.曾先后在三十余種報(bào)刊上發(fā)表文章一百余篇.出版有專著《在學(xué)中教?搖異步達(dá)標(biāo)》.

1. 半圓形的周長(zhǎng)與半圓的弧長(zhǎng)不是同一個(gè)概念

先從一個(gè)常見的題目說(shuō)起.

例1 半徑是R的半圓的周長(zhǎng)為（）.

A. πR B. πR2

C. πR+2R D. πR2

講解：最后的答案，可能聚焦在A，C兩個(gè)選項(xiàng)上.有些學(xué)生（或老師）可能將答案確定為C.理由是選項(xiàng)A忽視了半圓的直徑2R.

事實(shí)上，正確答案應(yīng)該是A.因?yàn)閳A心為O、半徑為r的圓，可以看做是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)組成的圖形；圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.由此可見，半圓的周長(zhǎng)，其實(shí)就是半圓的弧長(zhǎng).

半圓與直徑所圍成的半圓形的周長(zhǎng)，是半圓的弧長(zhǎng)加上一個(gè)直徑的長(zhǎng).

2. 圓心O在不在圓上

例2 仔細(xì)閱讀下面兩位同學(xué)的對(duì)話，然后再翻閱課本，給出你自己的解答.

小明：圓心O在不在圓上？圓心O當(dāng)然在圓上，不然為什么叫圓心而不稱為圓的中心！

小亮：圓心O不在圓上.因?yàn)椤霸谝粋€(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它的一個(gè)固定的端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓”.圓心O不屬于另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形，所以圓心O不在圓上.

3. 靈活掌握垂徑定理以及相關(guān)命題

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

圖1中的直徑CD，有這樣幾個(gè)特點(diǎn)：① 弦過(guò)圓心O（即直徑）；② 垂直于弦AB；③ 平分弦AB；④ 平分弦AB所對(duì)的劣弧；⑤ 平分弦AB所對(duì)的優(yōu)弧.事實(shí)上，在這五點(diǎn)之中，任取兩點(diǎn)作為命題的題設(shè)，其余三點(diǎn)作為命題的結(jié)論，都可以組成一個(gè)命題，這樣，共可以組成10個(gè)命題.

垂徑定理所描述的命題，其實(shí)可以理解為：①②?圯③④⑤.

類似地，依據(jù)①②?圯③④⑤，我們可以構(gòu)造出一個(gè)命題：平分弦的直徑，垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

需要引起注意的是，這個(gè)命題是一個(gè)假命題.同一個(gè)圓中的任意兩條直徑所組成的圖形，皆可以成為說(shuō)明這個(gè)命題為假命題的事例.

由此，這個(gè)命題可以改造為：平分弦（不是直徑）的直徑，垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

我們還可以構(gòu)造出另一個(gè)命題：弦的垂直平分線過(guò)圓心，且平分弦所對(duì)的兩條弧.這是一個(gè)真命題，可以用來(lái)確定一條弧所在圓的圓心位置.

其他命題以及真假，請(qǐng)同學(xué)們自主完成.

4. 學(xué)會(huì)使用圓的對(duì)稱性研究問(wèn)題

例3 如圖2，已知⊙P與x軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O，點(diǎn)A（0，2）是⊙P與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B（2 ，0），連接BP交⊙P于點(diǎn)C，連接AC并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)D．

（1） 求線段BC的長(zhǎng).

（2） 求直線AC的函數(shù)解析式.

（3） 當(dāng)點(diǎn)B在x軸上移動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)B，使△BOP相似于△AOD？若存在，求出符合條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

講解：（1） 由題意，得OP=1，OB=2 ，CP=1.在Rt△BOP中，由BP 2=OB 2+OP 2，可得（BC+1）2=（2 ）2+12.解得BC=2.（負(fù)值已舍）

（2） 過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于E，利用相似三角形的性質(zhì)可求得CE= ，OE= ，C ， .從而可求得直線AC的解析式：y=- x+2.

（3） 在x軸上存在點(diǎn)B，使△BOP與△AOD相似.

因∠OPB>∠OAD，若△BOP與△AOD相似，則∠OBP=∠OAD，∠OPB=2∠OAD.可得∠OBP=30°.

由OB=OP·cot30°= ，可得B1（ ，0）.

根據(jù)對(duì)稱性，可得B2（- ，0）.

故符合條件的點(diǎn)B有兩個(gè)，其坐標(biāo)分別為B1（ ，0），B2（- ，0）.

5. 體會(huì)分類討論的數(shù)學(xué)思想方法

學(xué)習(xí)本章，一定要結(jié)合具體問(wèn)題，領(lǐng)會(huì)分類討論的數(shù)學(xué)思想.

例4 一個(gè)點(diǎn)到圓的最大距離為11 cm，最小距離為5 cm，則圓的半徑為（）.

A. 16 cm或6 cmB. 3 cm或8 cmC. 3 cmD. 8 cm（答案：B）

例5 如果直線上一點(diǎn)與圓心O的距離大于⊙O的半徑，那么這條直線與⊙O的位置關(guān)系是（）．

A. 相交 B. 相切

C. 相離Ｄ. 相交、相切、相離都有可能 （答案：D）

例6 ⊙O1與⊙O2的圓心距為5，⊙O1的半徑為3，若兩圓相切，則⊙O2的半徑為 ．（答案：2或8）

例7 AB是⊙O的弦，∠AOB＝80°，則弦AB所對(duì)的圓周角是（）.

A. 40°B. 140°或40°C. 20°Ｄ. 20°或160° （答案：B）

例8 在半徑為5 cm的圓內(nèi)有兩條平行弦，一條長(zhǎng)6 cm，另一條長(zhǎng)8 cm，則兩條平行弦之間的距離為 .?搖（答案：1 cm或7 cm）

以上幾道題并不難，請(qǐng)同學(xué)們自己做做看，并總結(jié)出有關(guān)圓問(wèn)題的多解規(guī)律.