杠桿平衡條件與數學相互滲透的競賽題

《杠桿平衡條件》是歷屆科學競賽命題中的重點之一，它往往與數學等知識相結合，綜合性很強，考查同學們運用數學知識解決科學問題的能力，現舉例如下。

例1 （浙江省第11屆初中生科學競賽）如圖所示，均勻桿AB長為L，可以繞轉軸A點在豎直平面內自由轉動，在A點正上方距離L處固定一個定滑輪，細繩通過定滑輪與桿的另一端B相連，并將桿從水平位置緩慢向上拉起，已知桿水平時，細繩的拉力為T1，當桿與水平面的夾角為30°時，細繩的拉力為T2，則T1∶T2是

A．2∶1。B．2∶1。

C．3∶1。D．1∶1。

解析 本題考查杠桿平衡條件與三角函數相結合來解決物理題。當桿在水平時，細繩的拉力為T1，拉力的力臂為L1=Lcos45°，杠受到重力為G，重力的力臂為L2=L/2，則以A點為支點，根據杠桿平衡條件：T1 Lcos45°=G L/2，T1=2G/2；當桿與水平面的夾角為30°時，細繩的拉力為T2，拉力的力臂為L1=Lcos30°，杠受到重力為G，重力的力臂為L2=Lcos30°/2，則以A點為支點，根據杠桿平衡條件：T2 Lcos30°=G Lcos30°/2，T2= G /2。因此T1∶T2=2∶1。故正確選項為A。

例2 (浙江省第九屆自然科學競賽)在一次校運動會上，小明騎一質量為m的獨輪車，以速度v勻速通過一重為G、長為L的水平獨木橋，獨木橋的兩端由兩根豎直支柱A、B支撐著，如圖2所示。設獨輪車騎上A端支柱處為初始時刻（t=0），圖3所示中哪一個圖正確地表示了B端支柱所受壓力FB與時間t的函數關系？（不考慮獨木橋的形變）解析 本題考查杠桿平衡條件與數學圖像相結合來解決物理問題。重為G、長為L的水平獨木橋的兩端由兩根豎直支柱A、B支撐著，分別對水平獨木橋的支持力為FA、FB， 水平獨木橋受到重力為G，獨輪車對獨木橋的壓力為F=（m+m人）g。以A點為支點，根據杠桿平衡條件：FB L=GL/2+（m+m人）gv t所以 FB= G/2+（m+m人）gv t/L，又根據壓力與支持力是一對相互作用力大小相等，因此FB=FB= G/2+（m+m人）gv t/L，從而可知B端支柱所受壓力FB與時間t是一條一次函數的圖像（不經過原點）。故正確選項為B。

例3 (浙江省第五屆自然科學競賽)如圖4所示OB為粗細均勻的均質杠桿，O為支點，在離O點距離為a的A處掛一個質量為M的物體，杠桿每單位長度的質量為m，當杠桿為多長時，可以在B點用最小的作用力F維持杠桿平衡？

A．2Ma/m。 B．Ma/m 。

C．2Ma/m。D．無限長。

解析 本題考查杠桿平衡條件的靈活應用與利用一元二次方程中根與系數的關系來解決物理問題。設OA=a，OB=x，每米長杠桿重為mg/m。以O為支點，根據杠桿平衡條件可以列出方程：aMg+x/2 mgx=Fx，整理后為

mgx2－2Fx+2aMg=0。①

這個方程有解的條件是Δ≥0，其中

Δ=（-2F）2-8mgaMg。②

由此解出F≥ 2amMg。從①式可以解出杠桿長x，x=2F±4F2-8aMmg22mg。由于拉力最小時Δ=0，所以拉力最小時的杠桿長為：

x=F/mg=2Ma/m。故正確選項為A。

例4 (浙江省第八屆自然科學競賽)如圖5所示，質量為M、長度為L 的均勻橋板AB，A端連在橋墩上可以自由轉動，B端擱在浮在水面的浮箱C上。一輛質量為m的汽車P從A處勻速駛向B處。設浮箱為長方體，上下浮動時上表面保持水平，并始終在水面以上，上表面面積為S；水密度為ρ；汽車未上橋面時橋板與浮箱上表面夾角為α。汽車在橋面上行使的過程中，浮箱沉入水中的深度增加，求深度的增加量ΔH跟汽車P離開橋墩A的距離x的關系(汽車P可以看作一點)。

解析 本題是平衡條件與三角函數相結合的物理問題。設橋面上沒有汽車時，浮箱浸入水中的深度為ΔH0，浮箱對橋板的支持力為N0，N0=ρSΔH0g，以A為支點，根據杠桿平衡條件：MgL2cosα=N0Lcosα，則浮箱浸入水中的深度為ΔH0：ΔH0=ML2ρsL；汽車開上橋面后，汽車對橋板AB的壓力為mg，浮箱浸入水中的深度為ΔH＇，浮箱對橋板的支持力為N，N=ρSΔH＇g，以A為支點，根據杠桿平衡條件：(MgL2+mgx) cosα=NL cosα，則浮箱浸入水中的深度為ΔH＇：ΔH＇=ML+2mx2ρSL，故浮箱浸入水中的深度變化了ΔH：ΔH=ΔH＇-ΔH0= mxρSL。 因此深度的增加量ΔH跟汽車P離開橋墩A的距離x的關系為ΔH=mxρSL。

除此之外，杠桿平衡條件還可以與數學中勾股定律、相似三角形、三角形中位線等知識結合起來，在這里不再例舉。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。