三角形的內角與外角

三角形是最基本的幾何圖形之一，是研究復雜幾何圖形的基礎，許多幾何問題都可以轉化為三角形問題來解決.三角形內角和定理及外角的性質是“三角形”這一章的重要內容.學習這部分內容僅記住定理和推論是不夠的，要能準確地敘述定理，規范地作出圖形，用數學符號和數學語言進行證明，這樣才能對定理深刻理解，熟練掌握，靈活運用.

1. 理解定理及性質

三角形內角和定理：三角形的內角和等于180°.

三角形外角的性質：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角之和；三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角.

課本參照圖1對三角形內角和定理進行了說明，這里我們參照圖2對三角形內角和定理及外角的性質進行說明.

如圖2，延長線段BC至點E，過點C作CF∥AB.

根據平行線的性質，可得∠ACF=∠A，∠FCE=∠B.

∵∠BCE=180°，

∴∠ACF+∠FCE+∠ACB =180°，即∠A+∠B+∠ACB=180°.

由∠ACF=∠A，∠FCE=∠B，可得∠ACF+∠FCE=∠A+∠B. 故∠ACE=∠A+∠B.所以∠ACE>∠A，∠ACE>∠B.

2. 范例分析

例1如圖3，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小.

<\\\\192.168.2.123\\00\\七年級數學人教版2008年3月\\分析.tif>[分析：]圖3中的這5個角是分散的，如果能將分散的角集中到某一個三角形中，問題就能輕松獲解.

解：如圖3，∠1=∠C+∠E，∠2=∠B+∠D .

∠1、∠2、∠A是同一個三角形的3個內角，所以∠1+∠2+∠A=180°. 故∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.

[說明：]利用三角形外角的性質，將分散的角集中到一個三角形或一個多邊形中，利用三角形內角和定理或多邊形內角和公式進行計算，這是計算復雜多邊形中幾個內角之和的常用方法.

實踐探究題1：如圖4，已知∠3=∠1+∠2，試說明∠A+∠B+∠C+∠D=180°.

（提示：過點F作FH∥EC，說明FH∥GB，應用平行線的性質及三角形外角的性質，可使問題獲解.）

例2（“希望杯”競賽題） 如圖5，已知DO平分∠ADC，BO平分∠ABC，且∠A=27°， ∠O=30°，求∠C的大小.

<\\\\192.168.2.123\\00\\七年級數學人教版2008年3月\\分析.tif>[分析：]根據角平分線的性質，設∠ODC=∠ODA =x°，∠OBA=∠OBC=y°.以∠1和∠2為橋梁，列出等式，用代數方法進行計算.

解：∵∠1=∠C+2x°，∠1=∠A+2y°，

∴∠C+2x°=∠A+2y°.

∴∠C=∠A+2y°-2x°. ①

又∠2=30°+x°，∠2=27°+y°，

∴30°+x°=27°+y°.

∴y°-x°=30°-27°=3°.②

由①②可得

∠C=∠A+2（y°-x°） =27°+2 × 3° =33°.

[說明：]解這道題時，根據角平分線的性質，將兩組相等的角分別設出，應用三角形外角的性質，使∠1、∠2成為聯系已知量和未知量的橋梁，再用代數的方法進行計算即可.

實踐探究題2：如圖6，在△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的外角平分線相交于D點，且∠D=40°，求∠A的大小.

（答案：∠A=80°.）