多邊形學習要點

一、主要學習目標

1. 認識多邊形的內角和外角.

學習“多邊形及其內角和”這節內容，首先要知道三角形是最簡單的多邊形.可根據圖1所示的結構圖領會三角形的角與多邊形的角之間的聯系.

2. 體會“化未知為已知”的數學思想，掌握多邊形的內角和公式.

三角形的內角和是180°，那么求四邊形的內角和問題（未知），是否可以使用“化未知為已知”的思想，將求四邊形的內角和問題（未知）轉化為計算三角形的內角和問題（已知）呢？下面給出了將四邊形劃分為三角形的幾種方法，如圖5、圖6、圖7，你能借助這些圖形計算出四邊形的內角和嗎？

如圖5，過四邊形ABCD的頂點A，可以作出對角線AC，將四邊形ABCD劃分為2個三角形：△ABC、△ADC.四邊形ABCD的內角和為

∠BAD+∠B+∠BCD+∠D

=（∠BAC+∠DAC） +∠B+（∠BCA+∠DCA）+∠D

=（∠BAC+∠B+∠BCA）+（∠DAC+∠DCA+∠D）

=180°+180°=360°.

類似地，我們可以過五邊形的一個頂點引出2條對角線，將五邊形劃分為3個三角形（如圖8）；過六邊形的一個頂點引出3條對角線，將六邊形劃分為4個三角形（如圖9）……由此可以得出五邊形、六邊形……的內角和（如表1）.

表1

在六邊形ABCDEF的每個頂點處各取一個外角，將這些外角的和稱為六邊形的外角和.如圖10中的∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6. 每個外角與其相鄰內角的和都為180°，于是有6×180°-（6-2）×180°=360°.故六邊形的外角和等于360°.

同理，對于n邊形，可以得到n邊形的外角和：n×180°-（n-2）×180°=360°.

二、典型例題與學習建議

例1如果一個多邊形的每個內角都是144°，則這個多邊形是邊形.

解法1：（從內角的角度思考）設這個多邊形的邊數為n，根據n邊形的內角和公式（n-2）×180°，可得方程（n-2）×180=144n. 解這個方程，得n=10.

所以這個多邊形是十邊形.

解法2：（從外角的角度思考）這個多邊形的每個內角都是144°，因此這個多邊形的每個外角都等于180°-144°=36°.

因此，這個多邊形的邊數是=10.

【學習建議】要學會從不同的角度思考問題，能巧妙運用轉化思想，同時要有建立方程解決問題的意識.

例22008年奧運會在北京舉辦，李明同學想設計一個內角和是2 008°的多邊形圖案.他的想法能實現嗎？試說明理由.

解：假如李明同學所設計的這個內角和是2 008°的多邊形的邊數為n，依據多邊形的內角和公式，可得方程（n-2）×180=2 008.

解這個方程：n-2=，n-2=11，n=13.

因為所求得的n的值13不是正整數，所以，我們可以知道李明同學想設計的這個內角和為2 008°的多邊形不存在.

【學習建議】類似這樣的存在性問題，可以先假設其存在，然后構造方程，根據所求得的值來確定問題的答案.