關(guān)于十五子的游戲

陳景潤

在一張紙上畫一個(gè)正方形，并把它分成大小相同的16個(gè)小方格，再剪出15個(gè)大小相同的正方形紙板，而這些正方形紙板面積稍小于方格的面積.在這些小紙板上寫上1到15這15個(gè)數(shù)，這樣我們就可以來玩“十五子游戲”了. 把這15個(gè)紙板任意放到這16個(gè)小方格中去（如圖1）. 由于每個(gè)小方格只能放1個(gè)，因而，有1個(gè)小方格是空著的.游戲規(guī)定：當(dāng)且僅當(dāng)紙板與空格相鄰時(shí)，這個(gè)紙板才能和空格相互調(diào)換位置，紙板相互之間不能調(diào)換位置．現(xiàn)在的問題是能不能經(jīng)過有限次的移動(dòng)以后，把這15個(gè)子的順序排為圖2所示的樣子. 我們知道，把這15個(gè)紙板按任意順序放到這16個(gè)小方格中去的方法共有16 × 15 × … × 3 × 2＝20 922 789 888 000（種）. 若每一種都要來試一下能不能排成圖2所示的樣子，那得花費(fèi)多少時(shí)間啊！于是，我們只能多動(dòng)腦筋，去找出這個(gè)游戲的規(guī)律.

我們不難看出，任一紙板都能經(jīng)過幾次和空格相互對(duì)換位置后，移到這16個(gè)小方格中的任一指定的方格中，為了敘述方便，我們將這16個(gè)小方格標(biāo)上號(hào)碼，如圖3所示. 另外我們把15個(gè)紙板分別稱為1，2，3，…，15．首先，我們可以把“1”移到一號(hào)位置上．然后，能否把“2”移到二號(hào)位置上呢？這也是可以做到的.若“2”在第一列，我們可以把它移出第一列，也可以把空格移出第一列，然后第一列不動(dòng)，而在第二、三、四列中，仿前述方法把“2”移到二號(hào)位置上.“1”“2”的位置確定后，我們不動(dòng)它，用相同的方法還可以把“3”移到三號(hào)位置上去.這時(shí)如果空格不在四號(hào)位置上，要想不動(dòng)“1”“2”“3”而把“4”移到四號(hào)位置上去，卻一定不能夠做到了.因?yàn)樵谒奶?hào)位置右邊和上邊都沒有方格，而左邊的“3”又不能動(dòng)，故只有下邊的八號(hào)位置與它有聯(lián)系了.但我們總可以使第一行不動(dòng)，而把“4”移到八號(hào)位置上，把空格移到十二號(hào)位置上，如圖4所示.在圖4中，我們?nèi)∪⑺摹⑵摺恕⑹弧⑹@6個(gè)方格出來而構(gòu)成圖5.為了方便起見，我們將這幾號(hào)位置中紙板上的數(shù)字分別用甲、乙、丙來代替.然后依次把“4”往下移，甲往下移，“3”往右移，乙往上移，如圖6．再把甲往左移，“4”往上移，丙往右移，就變成了圖7，在圖7中把甲往下移，乙往下移，“3”往左移，“4”往上移.此時(shí)“3”“4”已分別在三、四號(hào)位置上了（如圖8）.

第一行排好后，不動(dòng)第一行，按照安排第一行的方法，當(dāng)然能夠把“5”“6”“7”安排在五、六、七號(hào)位置上，把“8”安排在八號(hào)位置上去.

再來安排第三行與第四行時(shí)，就要使用不同的辦法了.我們不是先排第三行，而是先排第一列下面的兩個(gè)位置，即九和十三號(hào)位置.這也不難做到，因?yàn)槲覀兛梢园训谝涣锌醋龅谝恍校凑张诺谝恍泻竺鎯蓚€(gè)位置的辦法來安排第一列后面的兩個(gè)位置.“9”和“13”都已安排好后，按上述辦法，我們還能把“10”“14”也安排到十、十四號(hào)位置上，這時(shí)只剩下“11”“12”“15”這3塊紙板還沒有安排好.我們可以把“11”移到十一號(hào)位置上，剩下的“12”“15”可能出現(xiàn)下列兩種情況：其一是“12”“15”都恰好移到十二及十五號(hào)位置上，如圖9，這正是我們所要達(dá)到的目的.但也可能出現(xiàn)第二種情況，如圖10.“12”排在十五號(hào)位置上，而“15”排在十二號(hào)位置上.因?yàn)閳D11可經(jīng)過圖12、圖13、圖14變成為圖15，于是我們知道任給一個(gè)初始狀態(tài)，經(jīng)過上面的一系列移動(dòng)后，都可以變?yōu)閳D16與圖17兩種順序中的一種，我們稱圖16為“正常排列”.而移圖17為“奇異排列”．應(yīng)該說，作為一種游戲，討論到此就算完了.但如果要問“奇異排列”能不能夠重新移動(dòng)而變?yōu)椤罢Ｅ帕小保囊环N初始狀況能變?yōu)椤罢Ｅ帕小保囊环N初始狀況要變?yōu)椤捌娈惻帕小保蔷筒坏貌唤柚谳^多的數(shù)學(xué)方法了.

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