探究三角形三個內角的和

侯　偉

[問題與情境]

1． 如圖1，做一個三角形紙片，它的三個內角分別為∠1、∠2和∠3，將∠1撕下進行拼接，使∠1的頂點與∠2的頂點重合，它的一條邊與∠2的一條邊重合.此時∠1的另一條邊與∠3的一條邊平行嗎？為什么？

2. 將∠3與∠2的公共邊延長，它與∠1的另一條邊夾的角為∠4，∠3與∠4的大小有什么關系？為什么？

由上面問題可以得到：三角形3個內角的和等于180°．

特別地，直角三角形的兩個銳角互余.

[開眼界]

千奇百怪的三角形

在紙上畫三角形，無論怎樣畫，把三角形里面的3個角加起來，都會等于180°.即使是畫上100個、1 000個，也絕對不會有一個例外.那么，能不能找到一種三角形，它的內角和不等于180°呢？在200年前，如果有誰提出了這樣一個問題，準會有人對他嗤之以鼻，因為三角形內角和等于180°是幾何書中的一個定理！定理就是經過邏輯推理證明是正確的數學結論.如果有誰不信“邪”，仍要來問一聲：“這個定理就一定那么可靠嗎？”那么，人們就會搬來經典著作《幾何原本》，指著第五公設對他說：“瞧，這個定理的正確性可以由它來保證.”公設也就是公理，是一種最基本的數學結論，它們的正確性經過了時間的反復證明，是不證自明的.不朽名著《幾何原本》中的全部定理，都建立在10個公理的基礎上，有誰敢懷疑“三角形的內角和等于180°”這個定理，也就等于懷疑第五公設有問題.如果連公理也有問題，豈不是所有的幾何定理都值得懷疑了嗎？不過，有些數學家們對這個第五公設是不大滿意的.《幾何原本》問世后的2 000多……