利用三角形全等測距離

王習建

全等知識在生產和生活中應用非常廣泛，而利用三角形全等測距離是其中非常重要的方面，通過三角形全等的相關知識，我們可以更為“神通廣大”，“上可測無法攀爬之高山，下可量不易逾越之平塘”.

[問題與情境]

小娟有一個 ，她想知道[ ][B][A]的內部AB的長,但是她只有 ，能測量出AB的長嗎？說說你的想法.

顯然直接測量AB間的距離并不容易，我們不妨把兩支鉛筆從中點處綁在一起，把下段筆尖放在需要測量的A、B處，由三角形全等的性質，則筆頭之間的距離為AB的長（如圖1）.

試想：如果不把兩支鉛筆從中點處綁在一起，用上面的方法，我們能測量出AB之間的距離嗎？

[開眼界]

如圖 2，A、B兩點之間被一個池塘隔開，無法直接測量A、B間的距離，請給出一個可行的方案.

根據圖 3中的設計圖，你能說明其中的依據嗎？

[經典例析]

例1 某鐵路施工隊在建設鐵路的過程中，需要打通一座小山，設計時要測量隧道的長度（如圖 4）． 小山前面恰好是一塊空地，利用這樣的有利地形，測量人員是否可以利用三角形全等的知識測量出需要開挖的隧道的長度？說明道理．

A、B兩點直接測量有難度，因此，可利用山前面的空地，構造兩個全等的三角形，使含AB的一對對應邊相等，則測量出對應邊的長，即得出AB的長．

解：如圖 5，在空地上取一個能直接到達A點、B點的點O，連接AO延長到D，使OD ＝ OA；連接BO并延長到E，使OE ＝ OB. 連接DE并測出它的長度，則DE的長就是A、B間的距離．

利用全等可以解決我們生活中很多的實際問題. 如測量一個池塘兩邊的距離、測量一電線桿是否垂直與地面、測量一個零件是否合格等. 這再一次說明數學與我們的日常生活是緊密相關的.

例2 如圖 6，要測量河兩岸兩點A、B間的距離，可用什么方法？并說明這樣做的合理性．

直接測量A、B間的距離有困難，而若用上題中的方法，則會出現圖 7 中的情況．所以要尋求另一種使對應邊在岸上的方法．不妨參考“開眼界”中圖 2 （2）的方法．

解：方法：如圖 8，在AB的垂線BE上取兩點C、D，使CD ＝ BC. 過點D作BE的垂線DG，并在DG上取一點F，使A、C、F在一條直線上，這時測得的DF 的長就是A、B間的距離．

理由：∵ AB⊥BE，DG⊥BE,

∴ ∠B ＝ ∠BDF ＝ 90°.

在△ABC和△FDC中，

∠B ＝ ∠BDF，

BC ＝ CD，

∠ACB ＝ ∠FCD，

∴ △ABC△FDC.（ASA）

∴ AB ＝ DF.（全等三角形對應邊相等）．

要注意區分例 1 和例 2 兩種情況，根據具體情況或題目的語言敘述來選擇恰當的方法．最明顯的區別是第一種沒有垂直的情況，利用 SAS 證全等；而第二種有垂直的情況，會用 ASA 證明三角形全等．當然，若有特殊情況，需具體分析．

[即學即練]

1． 如圖 9，鐵路上A、B兩站（視為直線上兩點）相距14 km，C、D為兩村莊（可看為兩個點），DA⊥AB于點A，CB⊥AB于點B，已知DA = 8 km，CB = 6 km．現在要在鐵路上建一個土特產品收購站E，使C、D兩村到E站的距離相等，則E站應建在距 A 站多少千米處？

2．圖10是一個三角測平架，AB = AC，在BC的中點D處懸掛一重錘DE（自然下垂）．要使BC處于水平位置（即BC與重錘線DE垂直），只要調整架身使點A恰在重錘線DE上就行，這是什么原因？

3． 你一定玩過蹺蹺板吧！圖11是小明和小剛玩蹺蹺板的示意圖，橫板繞它的中點O上下轉動，立柱OC與地面垂直．當一方著地時，另一方上升到最高點．問：在上下轉動橫板的過程中，兩人上升的最大高度AA′、BB′有何數量關系？為什么？

4． 如圖12，墻上有一面大鏡子，上面有兩點A、B． 小明想知道A、B兩點之間的距離，但鏡子掛得太高，無法直接測量，旁邊又沒有梯子，只有一根長度比圓的直徑稍長點的竹竿和一把卷尺．小明做了如下操作：在他夠得著的圓上找一點C ，接下去小明卻忘了應該怎么做？你能幫助他完成嗎？

[中考風向標]

1． （2007年·宜昌市）夷陵長江大橋為三塔斜拉橋．如圖13，中塔左右兩邊所掛的最長鋼索AB = AC,塔柱底端總D與點B間的距離是228 m，則BC的長是 m．

利用△ABD△ACD或利用等腰三角形三線合一的性質可得CD = BD = 228 m，故BC = 456 m.

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