函數的來歷

永　亮

現行數學教科書上使用的“函數”一詞是轉譯詞，是我國清代數學家李善蘭在翻譯《代數學》一書時，把“function”譯成函數的．

函數（function）這一名詞，是德國的數學家萊布尼茨17世紀首先采用的．在最初，萊布尼茨用函數一詞表示變量x的冪，即x2，x3，…．其后萊布尼茨還用函數一詞表示曲線上的橫坐標、縱坐標、切線的長度、垂線的長度等所有與曲線上的點有關的量．

與萊布尼茨幾乎同時，瑞士數學家雅克·貝努利給出了和萊布尼茨相同的函數定義．1718年，雅克·貝努利的弟弟約翰·貝努利給出了函數的如下定義：由任一變數和常數的任意形式所構成的量叫做這一變數的函數．換句話說為：由x和常量所構成的任一式子都可稱之為關于x的函數．

約翰·貝努利的學生瑞士數學家歐拉，把約翰·貝努利關于函數的定義又推進了一步，使之更加明朗化．1775年，歐拉把函數定義為：“如果某些變量以某一種方式依賴于另一些變量，即當后面這些變量變化時，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱為后面變量的函數．”

由此可以看到，由萊布尼茨到歐拉所引入的函數概念，都還是和解析表達式、曲線表達式等概念糾纏在一起的．

為了適應當時所出現的各種情況，為了適應數學的發展，法國數學家柯西引入了新的函數定義：“在某些變數間存在著一定的關系，當一經給定其中某一變數的值，其他變數的值也可隨之而確定時，則將最初的變數稱為‘自變數，其他各變數則稱為‘函數．”在柯西的定義中，首先出現了“自變量”一詞．

這一定義和我們現行中學課本的定義是很相近的．在這里，函數的概念和曲線、連續、不連續等概念之間糾纏不清的情況，已經得到了澄清．

但是，柯西的定義總還是考慮到x，y之間的關系可用解析式表示．德國數學家黎曼引入了新的定義：“對于x的每一個值， 總有完全確定了的值與之對應，而不拘于建立x，y之間的對應方法如何，均將y稱為x的函數．”

1834年，俄國數學家羅巴契夫斯基進一步提出函數的定義：“x的函數是這樣的一個數，它對于每一個x都有確定的值 ，并且隨著x一起變化．函數值可以由解析式給出，也可以由一個條件給出，這個條件提供了一種尋求全部對應值的方法．函數的這種依賴關系可以存在，但仍然是未知的.”這個定義指出了對應關系（條件）的必要性，利用這個關系可以求出每一個x的對應值．

1837年德國數學家狄里克雷認為怎樣去建立x與y之間的對應關系是無關緊要的，所以他的定義是：“如果對于x的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應，則y是x的函數．”這個定義抓住了概念的本質屬性，變量y稱為x的函數，只須有一個法則存在，使得這個函數取值范圍中的每一個值，有一個確定的y值和它對應就行了，不管這個法則是公式或圖象或表格或其他形式．這個定義比前面的定義帶有普遍性，為理論研究和實際應用提供了方便．因此，這個定義曾被較長期地使用．

我們看到，函數這個重要概念發展到近代，經過了一段如此漫長的道路，從某種意義上來說，它反映了人類對事物逐漸精確化的認識過程．數學史表明，重要的數學概念的產生和發展，對數學發展起著不可估量的作用．